MediuLogică matematicăClasa 10

Problemă rezolvată de Logică matematică

MediuLogică matematicăFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Considerăm predicatele P(x):x2+ax+b=0P(x): x^2 + ax + b = 0 și Q(x):x∈ZQ(x): x \in \mathbb{Z}, unde aa și bb sunt numere întregi. a) Să se determine condițiile pe aa și bb astfel încât propoziția ∀x∈R,P(x)⇒Q(x)\forall x \in \mathbb{R}, P(x) \Rightarrow Q(x) să fie adevărată. b) Pentru a=−5a = -5 și b=6b = 6, să se verifice dacă propoziția ∃x∈R,P(x)∧¬Q(x)\exists x \in \mathbb{R}, P(x) \land \neg Q(x) este adevărată.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se analizează propoziția ∀x∈R,P(x)⇒Q(x)\forall x \in \mathbb{R}, P(x) \Rightarrow Q(x). Aceasta este adevărată dacă pentru orice xx real, dacă P(x)P(x) este adevărată (adică xx este rădăcină a ecuației x2+ax+b=0x^2 + ax + b = 0), atunci Q(x)Q(x) este adevărată (adică xx este întreg). Prin urmare, toate rădăcinile ecuației trebuie să fie întregi.
24 puncte
Se rezolvă ecuația x2+ax+b=0x^2 + ax + b = 0. Discriminantul este Δ=a2−4b\Delta = a^2 - 4b. Condiția ca rădăcinile să fie întregi este ca Δ\Delta să fie pătrat perfect și ca x1,2=−a±Δ2x_{1,2} = \frac{-a \pm \sqrt{\Delta}}{2} să fie întregi, ceea ce impune anumite relații între aa și bb, cum ar fi aa par dacă Δ\sqrt{\Delta} este par, etc. Se pot da exemple de condiții sau se poate menționa că aceasta implică a2−4b=k2a^2 - 4b = k^2 cu kk întreg.
33 puncte
Pentru a=−5a = -5 și b=6b = 6, ecuația devine x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0, cu Δ=25−24=1\Delta = 25 - 24 = 1, deci rădăcinile sunt x1=2x_1 = 2 și x2=3x_2 = 3, ambele întregi. Propoziția ∃x∈R,P(x)∧¬Q(x)\exists x \in \mathbb{R}, P(x) \land \neg Q(x) afirmă că există un xx real care este rădăcină a ecuației și nu este întreg, ceea ce este fals, deoarece toate rădăcinile sunt întregi.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logică matematică

Ușor#1Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră ecuația x2−(m+1)x+m=0x^2 - (m+1)x + m = 0, cu m∈Rm \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: pp: „Discriminantul ecuației este pozitiv.” qq: „Suma rădăcinilor este mai mare decât produsul rădăcinilor.” rr: „Ecuația are o rădăcină egală cu 1.” a) Determinați valorile lui mm pentru care propoziția pp este adevărată. b) Stabiliți dacă propoziția qq este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}. c) Demonstrați că propoziția p∧q→rp \land q \rightarrow r este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}.
Ușor#2Logică matematicăNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră numărul complex z=a+biz = a + bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: PP: „zz este real.” QQ: „z2z^2 este real.” RR: „∣z∣=1|z| = 1.” a) Determinați condițiile asupra lui aa și bb pentru care propoziția PP este adevărată. b) Arătați că propoziția QQ este echivalentă cu ab=0ab = 0. c) Studiați valoarea de adevăr a implicației P∨Q→RP \lor Q \rightarrow R și dați un contraexemplu dacă este falsă.
Ușor#3Logică matematicăTeoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie predicatele p(x):x2−3x+2≥0p(x): x^2 - 3x + 2 \geq 0 și q(x):x≤1q(x): x \leq 1 sau x≥2x \geq 2, definite pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R}. Să se studieze valabilitatea echivalenței logice p(x)⇔q(x)p(x) \Leftrightarrow q(x) pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} și să se determine mulțimile A={x∈R∣p(x)}A = \{x \in \mathbb{R} \mid p(x)\} și B={x∈R∣q(x)}B = \{x \in \mathbb{R} \mid q(x)\}.
Mediu#4Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaFuncția de gradul I
Fie polinomul P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Se consideră propozițiile: AA: „P(x)P(x) are două rădăcini reale distincte”, BB: „Δ=b2−4ac>0\Delta = b^2 - 4ac > 0”, CC: „P(x)P(x) are cel puțin o rădăcină reală”. Să se studieze implicațiile logice între AA, BB și CC, în cazul a≠0a \neq 0 și în cazul a=0a=0.
Vezi toate problemele de Logică matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logică matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.