MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteLogaritmiDerivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx+xf(x) = \frac{\ln x}{x} + x. Determinați asimptotele funcției ff și demonstrați că funcția este strict crescătoare pe (0,∞)(0, \infty).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Studiați limita la x→0+x \to 0^+: lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+(ln⁡xx+x)\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{\ln x}{x} + x \right). Deoarece ln⁡x→−∞\ln x \to -\infty și 1x→∞\frac{1}{x} \to \infty, produsul ln⁡xx→−∞\frac{\ln x}{x} \to -\infty, iar x→0x \to 0, deci limita este −∞-\infty. Astfel, x=0x=0 este asimptotă verticală.
23 puncte
Studiați asimptotele la x→∞x \to \infty. Calculați lim⁡x→∞f(x)x=lim⁡x→∞(ln⁡xx2+1)=1\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{\ln x}{x^2} + 1 \right) = 1. Apoi, lim⁡x→∞[f(x)−x]=lim⁡x→∞ln⁡xx=0\lim_{x \to \infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0. Deci, y=xy=x este asimptotă oblică.
34 puncte
Pentru monotonia, calculați derivata: f′(x)=1−ln⁡xx2+1f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} + 1. Arătați că f′(x)>0f'(x) > 0 pentru toți x>0x>0. Ecuația f′(x)=0f'(x)=0 conduce la ln⁡x=1+x2\ln x = 1 + x^2, care nu are soluții reale pozitive deoarece pentru x>0x>0, ln⁡x<1+x2\ln x < 1 + x^2 (se poate justifica prin inegalități sau grafic). Prin urmare, f′(x)>0f'(x) > 0 și funcția este strict crescătoare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.