MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieIdentități algebrice
Într-un triunghi ABCABC, cu laturile BC=aBC=a, AC=bAC=b, AB=cAB=c și unghiul AA de măsură α\alpha, se consideră bisectoarea interioară ADAD (cu DD pe BCBC). Demonstrați că lungimea bisectoarei ADAD este dată de formula AD=2bccos⁡(α2)b+cAD = \frac{2bc \cos(\frac{\alpha}{2})}{b+c}. Apoi, pentru b=6b=6, c=8c=8, α=60∘\alpha=60^\circ, calculați valoarea numerică a lui ADAD.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Aplicăm teorema bisectoarei: BDDC=cb\frac{BD}{DC} = \frac{c}{b}.
23 puncte
În triunghiurile ABDABD și ADCADC, aplicăm teorema cosinusului: AD2=c2+BD2−2c⋅BD⋅cos⁡(α2)AD^2 = c^2 + BD^2 - 2c \cdot BD \cdot \cos(\frac{\alpha}{2}) și similar AD2=b2+DC2−2b⋅DC⋅cos⁡(α2)AD^2 = b^2 + DC^2 - 2b \cdot DC \cdot \cos(\frac{\alpha}{2}).
32 puncte
Din teorema bisectoarei și BD+DC=aBD + DC = a, obținem BD=acb+cBD = \frac{ac}{b+c}, DC=abb+cDC = \frac{ab}{b+c}. Substituim în relațiile de la pasul 2 și, prin egalare și simplificări algebrice, deducem formula.
42 puncte
Pentru b=6b=6, c=8c=8, α=60∘\alpha=60^\circ, calculăm cos⁡(30∘)=32\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, deci AD=2⋅6⋅8⋅326+8=48314=2437AD = \frac{2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{6+8} = \frac{48\sqrt{3}}{14} = \frac{24\sqrt{3}}{7}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.