MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră vectorii a⃗=i⃗+j⃗+k⃗\vec{a} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}, b⃗=i⃗−j⃗+k⃗\vec{b} = \vec{i} - \vec{j} + \vec{k} și c⃗=mi⃗+nj⃗+pk⃗\vec{c} = m\vec{i} + n\vec{j} + p\vec{k}, unde m,n,p∈Rm, n, p \in \mathbb{R}. Dacă c⃗\vec{c} este perpendicular pe a⃗\vec{a} și pe b⃗\vec{b}, iar ∣c⃗∣=2|\vec{c}| = 2, determinați m,n,pm, n, p. Apoi, verificați dacă vectorii a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} sunt liniar independenți.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scriem condițiile de perpendicularitate: a⃗⋅c⃗=0\vec{a} \cdot \vec{c} = 0 și b⃗⋅c⃗=0\vec{b} \cdot \vec{c} = 0.
23 puncte
Obținem sistemul de ecuații: m+n+p=0m + n + p = 0 și m−n+p=0m - n + p = 0.
32 puncte
Folosim condiția pentru modul: m2+n2+p2=4m^2 + n^2 + p^2 = 4.
42 puncte
Rezolvăm sistemul. Din primele două ecuații, scăzând, avem 2n=0⇒n=02n = 0 \Rightarrow n=0. Atunci m+p=0⇒p=−mm+p=0 \Rightarrow p=-m. Înlocuind în a treia ecuație: m2+02+(−m)2=2m2=4⇒m2=2⇒m=±2m^2 + 0^2 + (-m)^2 = 2m^2 = 4 \Rightarrow m^2=2 \Rightarrow m=\pm\sqrt{2}, deci p=∓2p=\mp\sqrt{2}. Soluțiile sunt (m,n,p)=(2,0,−2)(m,n,p)=(\sqrt{2},0,-\sqrt{2}) sau (−2,0,2)(-\sqrt{2},0,\sqrt{2}).
51 punct
Verificăm independența liniară. Pentru orice soluție, calculăm determinantul matricii format din componentele vectorilor, de exemplu pentru a⃗=(1,1,1)\vec{a}=(1,1,1), b⃗=(1,−1,1)\vec{b}=(1,-1,1), c⃗=(2,0,−2)\vec{c}=(\sqrt{2},0,-\sqrt{2}): ∣1111−1120−2∣=1⋅((−1)⋅(−2)−1⋅0)−1⋅(1⋅(−2)−1⋅2)+1⋅(1⋅0−(−1)⋅2)=2−(−22)+2=42≠0\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ \sqrt{2} & 0 & -\sqrt{2} \end{vmatrix} = 1\cdot((-1)\cdot(-\sqrt{2}) - 1\cdot0) - 1\cdot(1\cdot(-\sqrt{2}) - 1\cdot\sqrt{2}) + 1\cdot(1\cdot0 - (-1)\cdot\sqrt{2}) = \sqrt{2} - (-2\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \neq 0, deci vectorii sunt liniar independenți.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.