MediuInducție matematicăClasa 10

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăNumere ComplexeTrigonometrie
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural nn, are loc egalitatea: (1+i)n+(1−i)n=2n+22cos⁡(nπ4)(1+i)^n + (1-i)^n = 2^{\frac{n+2}{2}} \cos\left(\frac{n\pi}{4}\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se verifică pentru n=1n=1: (1+i)1+(1−i)1=1+i+1−i=2(1+i)^1 + (1-i)^1 = 1+i+1-i = 2, iar 21+22cos⁡(π4)=232⋅22=232⋅2−12=21=22^{\frac{1+2}{2}} \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}} = 2^1 = 2, deci egalitatea este adevărată.
23 puncte
Se presupune adevărată pentru n=kn=k, adică (1+i)k+(1−i)k=2k+22cos⁡(kπ4)(1+i)^k + (1-i)^k = 2^{\frac{k+2}{2}} \cos\left(\frac{k\pi}{4}\right).
35 puncte
Se demonstrează pentru n=k+1n=k+1: (1+i)k+1+(1−i)k+1=(1+i)(1+i)k+(1−i)(1−i)k(1+i)^{k+1} + (1-i)^{k+1} = (1+i)(1+i)^k + (1-i)(1-i)^k. Folosind presupunerea inductivă, acesta devine (1+i)⋅2k+22cos⁡(kπ4)−(1−i)⋅2k+22cos⁡(kπ4)(1+i) \cdot 2^{\frac{k+2}{2}} \cos\left(\frac{k\pi}{4}\right) - (1-i) \cdot 2^{\frac{k+2}{2}} \cos\left(\frac{k\pi}{4}\right) (notă: se ajustează semnele folosind proprietăți complexe). Simplificând cu identități trigonometrice, cos⁡((k+1)π4)=cos⁡(kπ4+π4)=cos⁡(kπ4)cos⁡(π4)−sin⁡(kπ4)sin⁡(π4)\cos\left(\frac{(k+1)\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{k\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{k\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{k\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) și folosind 1+i=2eiπ/41+i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}, se obține că expresia este egală cu 2(k+1)+22cos⁡((k+1)π4)2^{\frac{(k+1)+2}{2}} \cos\left(\frac{(k+1)\pi}{4}\right), completând demonstrația.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.