MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateAplicații ale derivatelor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x2+2xf(x) = e^{-x^2 + 2x}. Determinați intervalele de monotonie și intervalele de convexitate ale funcției ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=e−x2+2x⋅(−2x+2)=2(1−x)e−x2+2xf'(x) = e^{-x^2 + 2x} \cdot (-2x + 2) = 2(1-x)e^{-x^2 + 2x}.
23 puncte
Studiem semnul derivatei întâi. f′(x)=0f'(x) = 0 când x=1x=1. Pentru x<1x<1, 1−x>01-x>0, deci f′(x)>0f'(x)>0 și ff este strict crescătoare pe (−∞,1](-\infty, 1]. Pentru x>1x>1, f′(x)<0f'(x)<0 și ff este strict descrescătoare pe [1,∞)[1, \infty).
32 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=2e−x2+2x⋅[(1−x)(−2x+2)+(−1)]=2e−x2+2x⋅[−2(1−x)2−1]=−2e−x2+2x⋅[2(1−x)2+1]f''(x) = 2e^{-x^2 + 2x} \cdot [ (1-x)(-2x+2) + (-1) ] = 2e^{-x^2 + 2x} \cdot [ -2(1-x)^2 -1 ] = -2e^{-x^2 + 2x} \cdot [ 2(1-x)^2 + 1 ].
42 puncte
f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deoarece e−x2+2x>0e^{-x^2 + 2x} > 0 și 2(1−x)2+1>02(1-x)^2 + 1 > 0. Astfel, ff este concavă (sau convexă în jos) pe R\mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.