MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−6x2+9x+1f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1. a) Studiați monotonie și convexitatea funcției. b) Determinați valorile parametrului real mm pentru care ecuația f(x)=mf(x) = m are trei soluții reale distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=3x2−12x+9f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 și derivata a doua f′′(x)=6x−12f''(x) = 6x - 12.
23 puncte
Studiați semnul derivatei întâi: f′(x)=3(x−1)(x−3)f'(x) = 3(x-1)(x-3), deci ff este crescătoare pe (−∞,1]∪[3,∞)(-\infty,1] \cup [3,\infty) și descrescătoare pe [1,3][1,3]. Studiați semnul derivatei a doua: f′′(x)=6(x−2)f''(x) = 6(x-2), deci ff este concavă pe (−∞,2](-\infty,2] și convexă pe [2,∞)[2,\infty).
34 puncte
Din studiul monotoniei, ff are un maxim local în x=1x=1 cu f(1)=5f(1)=5 și un minim local în x=3x=3 cu f(3)=1f(3)=1. Pentru ca ecuația f(x)=mf(x)=m să aibă trei soluții reale distincte, mm trebuie să fie între valorile minimă și maximă locală, adică m∈(1,5)m \in (1,5).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.