MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
Se consideră un semicerc de rază RR, cu ecuația x2+y2=R2x^2 + y^2 = R^2, y≥0y \geq 0. Să se determine dimensiunile dreptunghiului de arie maximă care poate fi înscris în acest semicerc, cu o latură pe diametrul de pe axa Ox. Apoi, să se studieze monotonia și convexitatea funcției arie în funcție de abscisa unui vârf al dreptunghiului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se notează abscisa unui vârf al dreptunghiului ca xx (cu 0<x<R0 < x < R), atunci lățimea este 2x2x și înălțimea este y=R2−x2y = \sqrt{R^2 - x^2}. Funcția arie este A(x)=2x⋅R2−x2A(x) = 2x \cdot \sqrt{R^2 - x^2}, pentru x∈(0,R)x \in (0, R).
24 puncte
Se calculează derivata întâi: A′(x)=2R2−x2+2x⋅12R2−x2⋅(−2x)=2(R2−x2)−2x2R2−x2=2R2−4x2R2−x2A'(x) = 2\sqrt{R^2 - x^2} + 2x \cdot \frac{1}{2\sqrt{R^2 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{2(R^2 - x^2) - 2x^2}{\sqrt{R^2 - x^2}} = \frac{2R^2 - 4x^2}{\sqrt{R^2 - x^2}}. Se rezolvă A′(x)=0A'(x) = 0 pentru puncte critice: 2R2−4x2=0⇒x2=R22⇒x=R22R^2 - 4x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{R^2}{2} \Rightarrow x = \frac{R}{\sqrt{2}} (valoare pozitivă). Se verifică că acesta este un maxim prin semnul derivatei: A′(x)>0A'(x) > 0 pe (0,R2)(0, \frac{R}{\sqrt{2}}) și A′(x)<0A'(x) < 0 pe (R2,R)(\frac{R}{\sqrt{2}}, R). Dimensiunile dreptunghiului sunt: lățimea 2x=R22x = R\sqrt{2} și înălțimea y=R2y = \frac{R}{\sqrt{2}}.
33 puncte
Se studiază monotonia: funcția A(x)A(x) este crescătoare pe (0,R2)(0, \frac{R}{\sqrt{2}}) și descrescătoare pe (R2,R)(\frac{R}{\sqrt{2}}, R). Pentru convexitate, se calculează derivata a doua: A′′(x)=ddx(2R2−4x2R2−x2)=−8xR2−x2−(2R2−4x2)⋅−xR2−x2R2−x2A''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2R^2 - 4x^2}{\sqrt{R^2 - x^2}} \right) = \frac{-8x\sqrt{R^2 - x^2} - (2R^2 - 4x^2) \cdot \frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}}}{R^2 - x^2}, care se simplifică și se obține A′′(x)<0A''(x) < 0 pe (0,R)(0, R), indicând că funcția este concavă în jos (convexă în sensul negativ) pe întreg domeniul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.