MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Demonstrați că funcția g:R→Rg: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=ex−x−1g(x) = e^x - x - 1 este convexă pe R\mathbb{R}. Apoi, folosind proprietatea de convexitate, deduceți inegalitatea ea+eb≥2+a+be^a + e^b \geq 2 + a + b pentru orice a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculează derivatele: g′(x)=ex−1g'(x) = e^x - 1 și g′′(x)=exg''(x) = e^x.
22 puncte
Observă că g′′(x)>0g''(x) > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci gg este convexă pe R\mathbb{R}.
33 puncte
Aplică definiția funcției convexe: pentru orice a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}, g(a+b2)≤g(a)+g(b)2g\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{g(a) + g(b)}{2}.
42 puncte
Înlocuiește g(x)g(x): ea+b2−a+b2−1≤ea−a−1+eb−b−12e^{\frac{a+b}{2}} - \frac{a+b}{2} - 1 \leq \frac{e^a - a - 1 + e^b - b - 1}{2}. Simplifică această inegalitate: înmulțește cu 2 pentru a obține 2ea+b2−(a+b)−2≤ea+eb−a−b−22e^{\frac{a+b}{2}} - (a+b) - 2 \leq e^a + e^b - a - b - 2, apoi rearanjează termenii pentru a deduce ea+eb≥2ea+b2e^a + e^b \geq 2e^{\frac{a+b}{2}}. Folosind inegalitatea mediilor sau direct, se poate concluziona ea+eb≥2+a+be^a + e^b \geq 2 + a + b prin observarea că 2ea+b2≥2+a+b2e^{\frac{a+b}{2}} \geq 2 + a + b din convexitatea exponențialei, dar pentru completitudine, se poate verifica că din ea+b2≥1+a+b2e^{\frac{a+b}{2}} \geq 1 + \frac{a+b}{2} (datorită convexității lui exe^x), se obține inegalitatea dorită.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.