MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorPolinoame
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax3+bx2+cxf(x) = ax^3 + bx^2 + cx, cu a,b,c∈Ra,b,c \in \mathbb{R}, a≠0a \neq 0. Se știe că punctul A(1,5)A(1,5) este punct de inflexiune al graficului funcției și că tangenta la grafic în acest punct are ecuația y=2x+3y = 2x + 3. a) Determinați coeficienții a,b,ca,b,c. b) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. c) Determinați punctele de extrem ale funcției și calculați valoarea maximă și minimă a funcției pe intervalul [−2,2][-2, 2].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Din condițiile date, avem f(1)=5f(1)=5, f′(1)=2f'(1)=2, f′′(1)=0f''(1)=0. Calculăm f′(x)=3ax2+2bx+cf'(x)=3ax^2+2bx+c și f′′(x)=6ax+2bf''(x)=6ax+2b. Obținem sistemul: a+b+c=5a+b+c=5, 3a+2b+c=23a+2b+c=2, 6a+2b=06a+2b=0. Rezolvăm: din 6a+2b=06a+2b=0 avem b=−3ab=-3a. Înlocuim în primele două ecuații și obținem a=3a=3, b=−9b=-9, c=11c=11. Deci f(x)=3x3−9x2+11xf(x)=3x^3 -9x^2 +11x.
23 puncte
Calculăm f′(x)=9x2−18x+11f'(x)=9x^2-18x+11. Discriminantul este Δ=(−18)2−4⋅9⋅11=324−396=−72<0\Delta = (-18)^2 - 4\cdot9\cdot11 = 324 - 396 = -72 < 0, deci f′(x)>0f'(x)>0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, așadar funcția este strict crescătoare pe R\mathbb{R}. Calculăm f′′(x)=18x−18=18(x−1)f''(x)=18x-18=18(x-1). Avem f′′(x)=0f''(x)=0 pentru x=1x=1, f′′(x)<0f''(x)<0 pentru x<1x<1 (concavă) și f′′(x)>0f''(x)>0 pentru x>1x>1 (convexă).
33 puncte
Deoarece f′(x)>0f'(x)>0 pe R\mathbb{R}, funcția nu are puncte de extrem locale. Pe intervalul [−2,2][-2,2], valorile maxime și minime sunt atinse la capete. Calculăm f(−2)=3(−8)−9(4)+11(−2)=−24−36−22=−82f(-2)=3(-8)-9(4)+11(-2)=-24-36-22=-82 și f(2)=3(8)−9(4)+11(2)=24−36+22=10f(2)=3(8)-9(4)+11(2)=24-36+22=10. Deci minimul este −82-82 la x=−2x=-2, iar maximul este 1010 la x=2x=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.