MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriMatriciDeterminanți
În spațiul vectorial R3\mathbb{R}^3, se dau vectorii u⃗=(1,−1,2)\vec{u} = (1, -1, 2), v⃗=(2,1,−1)\vec{v} = (2, 1, -1) și w⃗=(0,3,−5)\vec{w} = (0, 3, -5). a) Scrieți matricea MM ale cărei coloane sunt coordonatele vectorilor u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v}, w⃗\vec{w}. b) Calculați determinantul matricei MM și stabiliți dacă vectorii sunt liniar independenți. c) Dacă vectorii sunt liniar dependenți, determinați o relație de dependență liniară între ei.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Matricea MM este: M=(120−1132−1−5)M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & -5 \end{pmatrix}.
24 puncte
Calculul determinantului: det⁡(M)=1⋅∣13−1−5∣−2⋅∣−132−5∣+0⋅∣−112−1∣=1⋅(1⋅(−5)−3⋅(−1))−2⋅((−1)⋅(−5)−3⋅2)=1⋅(−5+3)−2⋅(5−6)=1⋅(−2)−2⋅(−1)=−2+2=0\det(M) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -5 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot (-5) - 3 \cdot (-1)) - 2 \cdot ((-1) \cdot (-5) - 3 \cdot 2) = 1 \cdot (-5 + 3) - 2 \cdot (5 - 6) = 1 \cdot (-2) - 2 \cdot (-1) = -2 + 2 = 0. Deoarece det⁡(M)=0\det(M) = 0, vectorii sunt liniar dependenți.
34 puncte
Pentru a găsi o relație de dependență liniară, se rezolvă sistemul αu⃗+βv⃗+γw⃗=0⃗\alpha \vec{u} + \beta \vec{v} + \gamma \vec{w} = \vec{0}, adică {α+2β+0γ=0−α+β+3γ=02α−β−5γ=0\begin{cases} \alpha + 2\beta + 0\gamma = 0 \\ -\alpha + \beta + 3\gamma = 0 \\ 2\alpha - \beta - 5\gamma = 0 \end{cases}. Din prima ecuație, α=−2β\alpha = -2\beta. Înlocuind în a doua: −(−2β)+β+3γ=0⇒2β+β+3γ=0⇒3β+3γ=0⇒β=−γ-(-2\beta) + \beta + 3\gamma = 0 \Rightarrow 2\beta + \beta + 3\gamma = 0 \Rightarrow 3\beta + 3\gamma = 0 \Rightarrow \beta = -\gamma. Alegând γ=1\gamma = 1, atunci β=−1\beta = -1 și α=−2(−1)=2\alpha = -2(-1) = 2. Verificând în a treia ecuație: 2(2)−(−1)−5(1)=4+1−5=02(2) - (-1) - 5(1) = 4 + 1 - 5 = 0. Deci, relația este 2u⃗−v⃗+w⃗=0⃗2\vec{u} - \vec{v} + \vec{w} = \vec{0}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.