MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
În reperul cartezian xOyxOy, se consideră vectorii a⃗=2i⃗−j⃗\vec{a}=2\vec{i}-\vec{j}, b⃗=i⃗+3j⃗\vec{b}=\vec{i}+3\vec{j} și c⃗=mi⃗+nj⃗\vec{c}=m\vec{i}+n\vec{j}, cu m,n∈Rm,n\in\mathbb{R}. Dacă vectorii a⃗+c⃗\vec{a}+\vec{c} și b⃗−c⃗\vec{b}-\vec{c} sunt coliniari, iar ∥c⃗∥=5\|\vec{c}\|=5, determinați toate perechile (m,n)(m,n) care satisfac aceste condiții și calculați proia⃗c⃗\text{proi}_{\vec{a}}\vec{c} pentru fiecare caz.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Calculăm a⃗+c⃗=(2+m,−1+n)\vec{a}+\vec{c}=(2+m,-1+n) și b⃗−c⃗=(1−m,3−n)\vec{b}-\vec{c}=(1-m,3-n). Condiția de coliniaritate: (2+m)(3−n)−(−1+n)(1−m)=0(2+m)(3-n)-(-1+n)(1-m)=0.
22 puncte
Dezvoltăm: (2+m)(3−n)+(1−n)(1−m)=0(2+m)(3-n)+(1-n)(1-m)=0 (atenție la semn). Obținem 6−2n+3m−mn+1−m−n+mn=0⇒7−3n+2m=0⇒2m−3n=−76-2n+3m-mn+1-m-n+mn=0 \Rightarrow 7-3n+2m=0 \Rightarrow 2m-3n=-7.
32 puncte
Norma: ∥c⃗∥=m2+n2=5⇒m2+n2=25\|\vec{c}\|=\sqrt{m^2+n^2}=5 \Rightarrow m^2+n^2=25. Avem sistemul: 2m−3n=−72m-3n=-7 și m2+n2=25m^2+n^2=25.
42 puncte
Din prima ecuație, m=3n−72m=\frac{3n-7}{2}. Înlocuim în a doua: (3n−72)2+n2=25⇒9n2−42n+494+n2=25⇒9n2−42n+49+4n2=100⇒13n2−42n−51=0\left(\frac{3n-7}{2}\right)^2+n^2=25 \Rightarrow \frac{9n^2-42n+49}{4}+n^2=25 \Rightarrow 9n^2-42n+49+4n^2=100 \Rightarrow 13n^2-42n-51=0. Discriminant: Δ=(−42)2−4⋅13⋅(−51)=1764+2652=4416=64⋅69\Delta=(-42)^2-4\cdot13\cdot(-51)=1764+2652=4416=64\cdot69. Soluțiile: n1,2=42±86926=21±46913n_{1,2}=\frac{42\pm8\sqrt{69}}{26}=\frac{21\pm4\sqrt{69}}{13}.
51 punct
Pentru fiecare nn, m=3n−72m=\frac{3n-7}{2}. Perechile: (m1,n1)=(3⋅21+46913−72,21+46913)(m_1,n_1)=\left(\frac{3\cdot\frac{21+4\sqrt{69}}{13}-7}{2}, \frac{21+4\sqrt{69}}{13}\right) și (m2,n2)=(3⋅21−46913−72,21−46913)(m_2,n_2)=\left(\frac{3\cdot\frac{21-4\sqrt{69}}{13}-7}{2}, \frac{21-4\sqrt{69}}{13}\right). Simplificăm mm: m=63+126913−72=63+1269−91132=−28+126926=−14+66913m=\frac{\frac{63+12\sqrt{69}}{13}-7}{2}=\frac{\frac{63+12\sqrt{69}-91}{13}}{2}=\frac{-28+12\sqrt{69}}{26}=\frac{-14+6\sqrt{69}}{13}. Similar, m2=−14−66913m_2=\frac{-14-6\sqrt{69}}{13}.
61 punct
Proiecția: proia⃗c⃗=a⃗⋅c⃗∥a⃗∥2a⃗\text{proi}_{\vec{a}}\vec{c}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{c}}{\|\vec{a}\|^2}\vec{a}. a⃗⋅c⃗=2m−n\vec{a}\cdot\vec{c}=2m-n. ∥a⃗∥2=22+(−1)2=5\|\vec{a}\|^2=2^2+(-1)^2=5. Pentru fiecare pereche, se calculează valoarea numerică. Răspuns final: Perechile (m,n)(m,n) sunt cele două calculate, iar proiecțiile corespunzătoare se obțin prin înlocuire.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.