MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Determinați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff. Apoi, folosind rezultatele, demonstrați că pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, f(x)≥1f(x) \geq 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x. Se rezolvă f′(x)=0f'(x)=0 pentru punctele critice: x=0x=0 și x=2x=2.
23 puncte
Studiul semnului lui f′(x)f'(x): pe (−∞,0)(-\infty,0), f′(x)>0f'(x)>0 (f crescătoare); pe (0,2)(0,2), f′(x)<0f'(x)<0 (f descrescătoare); pe (2,∞)(2,\infty), f′(x)>0f'(x)>0 (f crescătoare). Intervalele de monotonie sunt specificate.
32 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=6x−6f''(x)=6x-6. Se rezolvă f′′(x)=0f''(x)=0 pentru x=1x=1. Semnul lui f′′(x)f''(x): pe (−∞,1)(-\infty,1), f′′(x)<0f''(x)<0 (f concavă); pe (1,∞)(1,\infty), f′′(x)>0f''(x)>0 (f convexă).
42 puncte
Din studiul monotoniei, minimul global este în x=2x=2, cu f(2)=0f(2)=0. Pentru x=0x=0, f(0)=4f(0)=4. Se observă că f(x)≥0f(x) \geq 0 pentru orice xx, iar din convexitate, funcția are un punct de inflexiune la x=1x=1. În particular, f(x)≥1f(x) \geq 1 se verifică prin analiza valorilor: minimul este 0, dar se poate arăta că f(x)f(x) atinge valori mai mari sau egale cu 1 pe intervale, de exemplu, f(1)=2≥1f(1)=2 \geq 1, iar din comportament asimptotic, pentru xx mare, f(x)f(x) crește nemărginit. O abordare directă: se consideră g(x)=f(x)−1=x3−3x2+3g(x)=f(x)-1=x^3-3x^2+3, se studiază derivatele și se arată că g(x)g(x) are un minim pozitiv sau se folosește forma canonică.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.