MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăArii și volume
Fie vectorii u⃗=2i⃗−j⃗+3k⃗\vec{u} = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k}, v⃗=i⃗+4j⃗−2k⃗\vec{v} = \vec{i} + 4\vec{j} - 2\vec{k} și w⃗=mi⃗+2j⃗+k⃗\vec{w} = m\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k} în spațiul tridimensional, unde mm este un parametru real. a) Determinați mm astfel încât vectorii u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v}, și w⃗\vec{w} să fie coplanari. b) Pentru valoarea lui mm găsită, calculați volumul paralelipipedului construit pe cei trei vectori. c) Dacă punctele A,B,C,DA, B, C, D au vectorii de poziție OA⃗=u⃗\vec{OA} = \vec{u}, OB⃗=v⃗\vec{OB} = \vec{v}, OC⃗=w⃗\vec{OC} = \vec{w}, și OD⃗=u⃗+v⃗+w⃗\vec{OD} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{w}, demonstrați că ABCDABCD este un tetraedru și calculați volumul său.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați produsul mixt u⃗⋅(v⃗×w⃗)=∣2−1314−2m21∣\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \\ m & 2 & 1 \end{vmatrix} și rezolvați ecuația u⃗⋅(v⃗×w⃗)=0\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = 0 pentru a găsi m=1m = 1.
23 puncte
Pentru m=1m=1, volumul paralelipipedului este Vp=∣u⃗⋅(v⃗×w⃗)∣=∣∣2−1314−2121∣∣=∣−5∣=5V_p = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})| = |\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}| = | -5 | = 5.
34 puncte
Arătați că punctele A,B,C,DA, B, C, D nu sunt coplanare deoarece u⃗,v⃗,w⃗\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} sunt necoplanari pentru m=1m=1 și OD⃗=u⃗+v⃗+w⃗\vec{OD} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{w}; volumul tetraedrului este Vt=16∣AB⃗⋅(AC⃗×AD⃗)∣=16∣(v⃗−u⃗)⋅((w⃗−u⃗)×(u⃗+v⃗+w⃗−u⃗))∣=16∣u⃗⋅(v⃗×w⃗)∣=56V_t = \frac{1}{6} |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})| = \frac{1}{6} |(\vec{v} - \vec{u}) \cdot ((\vec{w} - \vec{u}) \times (\vec{u} + \vec{v} + \vec{w} - \vec{u}))| = \frac{1}{6} |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})| = \frac{5}{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.