MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Studiați monotonia și convexitatea funcției f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x2+1)−xf(x) = \ln(x^2 + 1) - x.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=2xx2+1−1f'(x) = \frac{2x}{x^2+1} - 1.
23 puncte
Studiați semnul derivatei întâi: f′(x)=−(x−1)2x2+1≤0f'(x) = \frac{-(x-1)^2}{x^2+1} \leq 0, cu egalitate doar la x=1x=1. Deci ff este descrescătoare pe R\mathbb{R} (monotonie strict descrescătoare pe intervale, constantă doar într-un punct).
32 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=2(1−x2)(x2+1)2f''(x) = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}.
43 puncte
Studiați semnul derivatei a doua: f′′(x)=0f''(x) = 0 pentru x=±1x = \pm 1. Pentru x∈(−∞,−1)∪(1,∞)x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty), f′′(x)<0f''(x) < 0, deci ff este concavă; pentru x∈(−1,1)x \in (-1,1), f′′(x)>0f''(x) > 0, deci ff este convexă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.