MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Determinați intervalele de monotonie și de convexitate ale funcției ff. Apoi, folosind aceste rezultate, calculați lungimea maximă a unui segment care se poate trasa pe graficul funcției între punctele în care tangenta la grafic este orizontală.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x. Punctele critice sunt soluțiile ecuației f′(x)=0f'(x)=0, adică x=0x=0 și x=2x=2.
23 puncte
Studiați semnul lui f′(x)f'(x): pe (−∞,0)(-\infty,0), f′(x)>0f'(x)>0, deci ff este strict crescătoare; pe (0,2)(0,2), f′(x)<0f'(x)<0, deci ff este strict descrescătoare; pe (2,∞)(2,\infty), f′(x)>0f'(x)>0, deci ff este strict crescătoare.
32 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6. Punctul de inflexiune este x=1x=1, unde f′′(x)=0f''(x)=0. Pe (−∞,1)(-\infty,1), f′′(x)<0f''(x)<0, deci ff este concavă; pe (1,∞)(1,\infty), f′′(x)>0f''(x)>0, deci ff este convexă.
43 puncte
Punctele cu tangentă orizontală sunt x=0x=0 și x=2x=2, unde f′(x)=0f'(x)=0. Coordonatele sunt A(0,4)A(0,4) și B(2,0)B(2,0). Lungimea segmentului pe grafic între aceste puncte se calculează cu formula distanței: L=(2−0)2+(0−4)2=4+16=20=25L = \sqrt{(2-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}. Deoarece funcția este descrescătoare pe [0,2][0,2] și nu există alte puncte cu tangentă orizontală, aceasta este lungimea maximă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.