MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriTrigonometrie
Doi vectori a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b} au mărimile ∣a⃗∣=8|\vec{a}| = 8 și ∣b⃗∣=6|\vec{b}| = 6, iar unghiul dintre ei este de 120∘120^\circ. Calculați ∣a⃗+b⃗∣|\vec{a} + \vec{b}| și ∣a⃗−b⃗∣|\vec{a} - \vec{b}|. Apoi, determinați unghiurile pe care le face vectorul a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} cu fiecare dintre vectorii a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosind formula, ∣a⃗+b⃗∣2=∣a⃗∣2+∣b⃗∣2+2∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=64+36+2⋅8⋅6⋅cos⁡120∘=100+96⋅(−0.5)=100−48=52|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = 64 + 36 + 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 120^\circ = 100 + 96 \cdot (-0.5) = 100 - 48 = 52, deci ∣a⃗+b⃗∣=52=213|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.
23 puncte
Similar, ∣a⃗−b⃗∣2=∣a⃗∣2+∣b⃗∣2−2∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=64+36−96⋅(−0.5)=100+48=148|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = 64 + 36 - 96 \cdot (-0.5) = 100 + 48 = 148, deci ∣a⃗−b⃗∣=148=237|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{148} = 2\sqrt{37}.
34 puncte
Unghiul α\alpha dintre a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și a⃗\vec{a}: cos⁡α=(a⃗+b⃗)⋅a⃗∣a⃗+b⃗∣∣a⃗∣=∣a⃗∣2+a⃗⋅b⃗∣a⃗+b⃗∣∣a⃗∣\cos \alpha = \frac{(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a}}{|\vec{a} + \vec{b}| |\vec{a}|} = \frac{|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a} + \vec{b}| |\vec{a}|}. Se calculează a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡120∘=8⋅6⋅(−0.5)=−24\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos 120^\circ = 8 \cdot 6 \cdot (-0.5) = -24. Atunci cos⁡α=64−24213⋅8=401613=5213\cos \alpha = \frac{64 - 24}{2\sqrt{13} \cdot 8} = \frac{40}{16\sqrt{13}} = \frac{5}{2\sqrt{13}}, deci α=arccos⁡(5213)\alpha = \arccos\left(\frac{5}{2\sqrt{13}}\right). Unghiul β\beta dintre a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și b⃗\vec{b}: cos⁡β=(a⃗+b⃗)⋅b⃗∣a⃗+b⃗∣∣b⃗∣=a⃗⋅b⃗+∣b⃗∣2∣a⃗+b⃗∣∣b⃗∣=−24+36213⋅6=121213=113\cos \beta = \frac{(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b}}{|\vec{a} + \vec{b}| |\vec{b}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2}{|\vec{a} + \vec{b}| |\vec{b}|} = \frac{-24 + 36}{2\sqrt{13} \cdot 6} = \frac{12}{12\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}}, deci β=arccos⁡(113)\beta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{13}}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.