MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Determinați intervalele de monotonie strictă ale funcției ff și intervalele de convexitate. Aflați punctele de inflexiune. Apoi, folosind derivata, găsiți punctele de pe graficul funcției ff în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x−1y = 3x - 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Calculează derivata întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x.
23 puncte
Determină intervalele de monotonie: rezolvă f′(x)>0f'(x) > 0 și f′(x)<0f'(x) < 0; obține că ff este strict crescătoare pe (−∞,0]∪[2,∞)(-\infty, 0] \cup [2, \infty) și strict descrescătoare pe [0,2][0,2].
31 punct
Calculează derivata a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6.
42 puncte
Determină intervalele de convexitate: rezolvă f′′(x)>0f''(x) > 0 și f′′(x)<0f''(x) < 0; obține că ff este convexă pe [1,∞)[1, \infty) și concavă pe (−∞,1](-\infty, 1], cu punct de inflexiune la x=1x=1.
52 puncte
Pentru tangente paralele cu y=3x−1y=3x-1, panta este 3, deci pune f′(x)=3f'(x) = 3; rezolvă 3x2−6x=3⇒x2−2x−1=0⇒x=1±23x^2 - 6x = 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{2}.
61 punct
Calculează f(1±2)f(1 \pm \sqrt{2}) și scrie punctele: (1−2,f(1−2))(1-\sqrt{2}, f(1-\sqrt{2})) și (1+2,f(1+2))(1+\sqrt{2}, f(1+\sqrt{2})).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.