MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Liniare
Fie punctele A(1,2,3)A(1,2,3), B(−1,4,0)B(-1,4,0) și C(2,1,5)C(2,1,5) în spațiu. Se consideră vectorii u⃗=AB→\vec{u}=\overrightarrow{AB}, v⃗=AC→\vec{v}=\overrightarrow{AC} și w⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec{w}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} cu x,y,z∈Rx,y,z\in\mathbb{R}. Dacă w⃗\vec{w} este ortogonal atât pe u⃗\vec{u}, cât și pe v⃗\vec{v}, iar ∥w⃗∥=32\|\vec{w}\|=3\sqrt{2}, determinați toate vectorii w⃗\vec{w} care satisfac aceste condiții și aflați coordonatele punctului DD astfel încât AD→=w⃗\overrightarrow{AD}=\vec{w}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Calculăm u⃗=AB→=(−2,2,−3)\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(-2,2,-3) și v⃗=AC→=(1,−1,2)\vec{v}=\overrightarrow{AC}=(1,-1,2). Condiția de ortogonalitate dă w⃗⋅u⃗=0\vec{w}\cdot\vec{u}=0 și w⃗⋅v⃗=0\vec{w}\cdot\vec{v}=0, adică −2x+2y−3z=0-2x+2y-3z=0 și x−y+2z=0x-y+2z=0.
22 puncte
Rezolvăm sistemul format din cele două ecuații. Scăzând a doua dublată din prima obținem −4x+4y−3z−2x+2y−4z=0⇒−6x+6y−7z=0-4x+4y-3z-2x+2y-4z=0 \Rightarrow -6x+6y-7z=0, dar putem simplifica: din prima ecuație exprimăm x=y−2zx=y-2z și înlocuim în a doua: −2(y−2z)+2y−3z=0⇒−2y+4z+2y−3z=0⇒z=0-2(y-2z)+2y-3z=0 \Rightarrow -2y+4z+2y-3z=0 \Rightarrow z=0. Atunci x=yx=y.
32 puncte
Vectorul este w⃗=(y,y,0)\vec{w}=(y,y,0) cu y∈Ry\in\mathbb{R}. Norma este ∥w⃗∥=y2+y2+02=2y2=∣y∣2\|\vec{w}\|=\sqrt{y^2+y^2+0^2}=\sqrt{2y^2}=|y|\sqrt{2}. Condiția ∥w⃗∥=32\|\vec{w}\|=3\sqrt{2} dă ∣y∣2=32⇒∣y∣=3⇒y=3|y|\sqrt{2}=3\sqrt{2} \Rightarrow |y|=3 \Rightarrow y=3 sau y=−3y=-3.
42 puncte
Obținem w⃗1=(3,3,0)\vec{w}_1=(3,3,0) și w⃗2=(−3,−3,0)\vec{w}_2=(-3,-3,0). Dacă D(d1,d2,d3)D(d_1,d_2,d_3) și AD→=w⃗\overrightarrow{AD}=\vec{w}, atunci (d1−1,d2−2,d3−3)=w⃗(d_1-1, d_2-2, d_3-3)=\vec{w}. Pentru w⃗1\vec{w}_1: D1(4,5,3)D_1(4,5,3). Pentru w⃗2\vec{w}_2: D2(−2,−1,3)D_2(-2,-1,3).
51 punct
Răspuns final: Vectorii sunt w⃗1=3i⃗+3j⃗\vec{w}_1=3\vec{i}+3\vec{j} și w⃗2=−3i⃗−3j⃗\vec{w}_2=-3\vec{i}-3\vec{j}; punctele corespunzătoare sunt D1(4,5,3)D_1(4,5,3) și D2(−2,−1,3)D_2(-2,-1,3).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.