MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriNumere ComplexeGeometrie Analitică
În planul complex, se consideră numerele complexe z1=2+3iz_1 = 2+3i și z2=−1+4iz_2 = -1+4i, reprezentând punctele A și B. a) Determinați vectorul AB⃗\vec{AB} în funcție de i⃗\vec{i} și j⃗\vec{j}. b) Calculați modulul lui z1−z2z_1 - z_2 și interpretați geometric. c) Dacă z3z_3 este un număr complex astfel încât triunghiul cu vârfurile în afixele lui z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 este dreptunghic în z3z_3, găsiți z3z_3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Vectorul AB⃗\vec{AB} corespunde diferenței z2−z1z_2 - z_1. Calculăm z2−z1=(−1+4i)−(2+3i)=−3+iz_2 - z_1 = (-1+4i) - (2+3i) = -3 + i. Deci, AB⃗=−3i⃗+j⃗\vec{AB} = -3\vec{i} + \vec{j}.
23 puncte
Modulul lui z1−z2z_1 - z_2 este ∣z1−z2∣=∣2+3i−(−1+4i)∣=∣3−i∣=32+(−1)2=10|z_1 - z_2| = |2+3i - (-1+4i)| = |3 - i| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}. Geometric, acesta este lungimea segmentului AB.
35 puncte
Triunghiul este dreptunghic în z3z_3, deci z1z3⃗⋅z2z3⃗=0\vec{z_1 z_3} \cdot \vec{z_2 z_3} = 0. Fie z3=x+yiz_3 = x+yi. Atunci z1z3⃗=(x−2)+(y−3)i\vec{z_1 z_3} = (x-2) + (y-3)i și z2z3⃗=(x+1)+(y−4)i\vec{z_2 z_3} = (x+1) + (y-4)i. Produsul scalar al vectorilor corespunzători este (x−2)(x+1)+(y−3)(y−4)=0(x-2)(x+1) + (y-3)(y-4) = 0. Simplificând, x2−x−2+y2−7y+12=0x^2 - x -2 + y^2 -7y +12 = 0, adică x2+y2−x−7y+10=0x^2 + y^2 - x -7y +10 = 0. Aceasta este ecuația unui cerc care reprezintă mulțimea punctelor z3z_3 care satisfac condiția, excluzând z1z_1 și z2z_2 (adică (x,y)≠(2,3)(x,y) \neq (2,3) și (x,y)≠(−1,4)(x,y) \neq (-1,4)).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.