MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorArii și volume
O cutie dreptunghiulară fără capac are volumul de 32 cm332 \text{ cm}^3. Baza cutiei este un pătrat cu latura xx cm. Înălțimea cutiei este hh cm. Să se exprime suprafața totală SS a fețelor în funcție de xx și să se determine x>0x > 0 astfel încât SS să fie minimă. Să se studieze monotonia și convexitatea funcției S(x)S(x).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Volumul este V=x2h=32V = x^2 h = 32, deci h=32x2h = \frac{32}{x^2}. Suprafața totală (fără capac) este S=x2+4xh=x2+4x⋅32x2=x2+128xS = x^2 + 4xh = x^2 + 4x \cdot \frac{32}{x^2} = x^2 + \frac{128}{x}, cu x>0x > 0.
23 puncte
Se calculează derivata: S′(x)=2x−128x2S'(x) = 2x - \frac{128}{x^2}. Se rezolvă S′(x)=0S'(x)=0: 2x−128x2=0⇒2x3=128⇒x3=64⇒x=42x - \frac{128}{x^2} = 0 \Rightarrow 2x^3 = 128 \Rightarrow x^3 = 64 \Rightarrow x = 4 (deoarece x>0x>0).
32 puncte
Se studiază semnul derivatei: pentru 0<x<40 < x < 4, S′(x)<0S'(x) < 0 (funcția este descrescătoare), iar pentru x>4x > 4, S′(x)>0S'(x) > 0 (funcția este crescătoare). Deci x=4x=4 este punct de minim.
42 puncte
Se calculează derivata a doua: S′′(x)=2+256x3S''(x) = 2 + \frac{256}{x^3}. Pentru x>0x>0, S′′(x)>0S''(x) > 0, deci funcția este convexă pe (0,∞)(0,\infty).
51 punct
Dimensiunile cutiei sunt: latura bazei x=4x=4 cm, înălțimea h=3242=2h = \frac{32}{4^2} = 2 cm. Suprafața minimă este S(4)=42+1284=16+32=48 cm2S(4) = 4^2 + \frac{128}{4} = 16 + 32 = 48 \text{ cm}^2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.