MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex2−4xf(x) = e^{x^2 - 4x}. Să se determine intervalele de monotonie, punctele de extrem local, intervalele de convexitate/concavitate și punctele de inflexiune. Apoi, folosind aceste rezultate, să se afle valoarea maximă a funcției pe intervalul [0,5][0, 5].

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=ex2−4x⋅(2x−4)=2(x−2)ex2−4xf'(x) = e^{x^2 - 4x} \cdot (2x - 4) = 2(x - 2)e^{x^2 - 4x}.
22 puncte
Studiul semnului derivatei întâi pentru monotonie: ex2−4x>0e^{x^2 - 4x} > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Semnul lui f′(x)f'(x) depinde de 2(x−2)2(x - 2). Astfel, f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x<2x < 2, deci ff este strict descrescătoare pe (−∞,2)(-\infty, 2). f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x>2x > 2, deci ff este strict crescătoare pe (2,+∞)(2, +\infty). f′(2)=0f'(2) = 0, deci x=2x = 2 este punct critic.
31 punct
Determinarea punctului de extrem: Din semnul derivatei, x=2x = 2 este punct de minim local (și global, deoarece funcția este continuă și derivabilă pe R\mathbb{R}). Valoarea minimă este f(2)=e4−8=e−4f(2) = e^{4 - 8} = e^{-4}.
42 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=(2(x−2)ex2−4x)′=2ex2−4x+2(x−2)ex2−4x⋅(2x−4)=2ex2−4x[1+(x−2)(2x−4)]=2ex2−4x(1+2x2−8x+8)=2ex2−4x(2x2−8x+9)f''(x) = \left( 2(x - 2)e^{x^2 - 4x} \right)' = 2e^{x^2 - 4x} + 2(x - 2)e^{x^2 - 4x} \cdot (2x - 4) = 2e^{x^2 - 4x} \left[ 1 + (x - 2)(2x - 4) \right] = 2e^{x^2 - 4x} (1 + 2x^2 - 8x + 8) = 2e^{x^2 - 4x} (2x^2 - 8x + 9).
52 puncte
Studiul semnului derivatei a doua pentru convexitate: 2ex2−4x>02e^{x^2 - 4x} > 0. Semnul lui f′′(x)f''(x) este dat de 2x2−8x+92x^2 - 8x + 9. Discriminantul acestui trinom este Δ=64−72=−8<0\Delta = 64 - 72 = -8 < 0, iar coeficientul lui x2x^2 este pozitiv, deci 2x2−8x+9>02x^2 - 8x + 9 > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Rezultă f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci funcția este convexă pe R\mathbb{R}. Nu există puncte de inflexiune.
61 punct
Determinarea valorii maxime pe [0,5][0, 5]: Funcția este descrescătoare pe (−∞,2](-\infty, 2] și crescătoare pe [2,+∞)[2, +\infty). Pe intervalul [0,5][0, 5], minimul este în x=2x = 2, iar maximul se atinge la unul dintre capete. Calculăm f(0)=e0=1f(0) = e^{0} = 1, f(5)=e25−20=e5f(5) = e^{25 - 20} = e^{5}. Deoarece e5>1e^{5} > 1, valoarea maximă pe [0,5][0, 5] este f(5)=e5f(5) = e^{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.