MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf : (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−xf(x) = x \ln x - x. a) Determinați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff. b) Aflați punctul de minim al funcției și calculați valoarea minimă. c) Rezolvați inecuația xln⁡x>x−1x \ln x > x - 1 pentru x>0x > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=ln⁡x+1−1=ln⁡xf'(x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x. Rezolvăm f′(x)=0f'(x)=0 și obținem x=1x=1. Studiem semnul: f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(0,1)x \in (0,1), f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(1,∞)x \in (1, \infty), deci ff este descrescătoare pe (0,1](0,1] și crescătoare pe [1,∞)[1, \infty).
23 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=1x>0f''(x) = \frac{1}{x} > 0 pentru x>0x > 0, deci ff este convexă pe (0,∞)(0, \infty).
32 puncte
Minimul funcției este atins în x=1x=1, cu f(1)=1⋅ln⁡1−1=−1f(1) = 1 \cdot \ln 1 - 1 = -1. Punctul de minim este (1,−1)(1, -1).
42 puncte
Inecuația xln⁡x>x−1x \ln x > x - 1 se rescrie ca f(x)>−1f(x) > -1. Deoarece f(x)≥−1f(x) \geq -1 pentru orice x>0x > 0, cu egalitate doar pentru x=1x=1, inecuația este satisfăcută pentru x∈(0,1)∪(1,∞)x \in (0,1) \cup (1, \infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.