MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Profitul unei firme este modelat de funcția P(x)=−x3+6x2+15x−10P(x) = -x^3 + 6x^2 + 15x - 10, cu x≥0x \geq 0 reprezentând cantitatea produsă în mii de unități. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției PP. b) Determinați intervalul de valori pentru xx unde profitul este crescător și concav. c) Aflați nivelul de producție care maximizează profitul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivatele: P′(x)=−3x2+12x+15P'(x) = -3x^2 + 12x + 15, P′′(x)=−6x+12P''(x) = -6x + 12.
23 puncte
Pentru monotonie, rezolvați P′(x)=0P'(x) = 0: −3x2+12x+15=0-3x^2 + 12x + 15 = 0 împărțit la −3-3, x2−4x−5=0x^2 - 4x - 5 = 0, cu rădăcini x=−1x = -1 și x=5x = 5. Deoarece x≥0x \geq 0, considerăm x=5x = 5. Studiați semnul lui P′(x)P'(x): pe [0,5)[0, 5), P′(x)>0P'(x) > 0 deci PP crescător; pe (5,∞)(5, \infty), P′(x)<0P'(x) < 0 deci PP descrescător.
32 puncte
Pentru convexitate, rezolvați P′′(x)=0P''(x) = 0: −6x+12=0-6x + 12 = 0, x=2x = 2. Studiați semnul: pe [0,2)[0, 2), P′′(x)>0P''(x) > 0 deci PP convex; pe (2,∞)(2, \infty), P′′(x)<0P''(x) < 0 deci PP concav.
42 puncte
a) Monotonia: crescător pe [0,5][0,5], descrescător pe [5,∞)[5,\infty). Convexitate: convex pe [0,2][0,2], concav pe [2,∞)[2,\infty). b) Intervalul unde profitul este crescător și concav: P′(x)>0P'(x) > 0 și P′′(x)>0P''(x) > 0, adică x∈[0,2)x \in [0, 2). c) Maximul profitului: din monotonie, maximul este la x=5x = 5. Calculați P(5)=90P(5) = 90.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.