MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O bucată pătrată de carton cu latura de 12 cm este folosită pentru a construi o cutie fără capac, decupând pătrate identice din fiecare colț și îndoind marginile. Fie xx lungimea laturii pătratelor decupate. Exprimați volumul cutiei V(x)V(x) și determinați valoarea lui xx pentru care volumul este maxim. Studiați monotonia și convexitatea funcției VV pe domeniul său de definiție.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Exprimarea volumului: V(x)=x(12−2x)2V(x) = x(12 - 2x)^2, cu x∈(0,6)x \in (0, 6) deoarece 12−2x>012 - 2x > 0.
22 puncte
Calculul derivatei întâi: V′(x)=12x2−96x+144=12(x2−8x+12)V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12).
31 punct
Determinarea punctelor critice: V′(x)=0⇒x=2V'(x) = 0 \Rightarrow x = 2 și x=6x = 6.
42 puncte
Studiul semnului derivatei întâi pe (0,6)(0, 6): V′(x)>0V'(x) > 0 pentru x∈(0,2)x \in (0, 2), deci VV este crescătoare; V′(x)<0V'(x) < 0 pentru x∈(2,6)x \in (2, 6), deci VV este descrescătoare. Maxim local la x=2x = 2.
52 puncte
Calculul derivatei a doua: V′′(x)=24x−96=24(x−4)V''(x) = 24x - 96 = 24(x - 4).
62 puncte
Studiul semnului derivatei a doua: V′′(x)>0V''(x) > 0 pentru x>4x > 4, deci VV este convexă pe (4,6)(4, 6); V′′(x)<0V''(x) < 0 pentru x<4x < 4, deci VV este concavă pe (0,4)(0, 4). Punct de inflexiune la x=4x = 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.