MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorPolinoame
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3+bx2+cx+df(x) = x^3 + bx^2 + cx + d. Știind că ff are un punct de inflexiune în x=1x = 1 și că tangenta în acest punct este paralelă cu dreapta y=2x+5y = 2x + 5, iar f(0)=0f(0) = 0, determinați coeficienții b,c,db, c, d. Apoi, studiați monotonia și convexitatea funcției ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți condițiile: punct de inflexiune în x=1x = 1 implică f′′(1)=0f''(1) = 0; tangenta paralelă cu y=2x+5y = 2x + 5 implică panta f′(1)=2f'(1) = 2; f(0)=0f(0) = 0. Calculați derivatele: f′(x)=3x2+2bx+cf'(x) = 3x^2 + 2bx + c, f′′(x)=6x+2bf''(x) = 6x + 2b.
23 puncte
Din f′′(1)=0f''(1) = 0: 6⋅1+2b=0⇒b=−36 \cdot 1 + 2b = 0 \Rightarrow b = -3. Din f′(1)=2f'(1) = 2: 3⋅12+2(−3)⋅1+c=2⇒3−6+c=2⇒c=53 \cdot 1^2 + 2(-3) \cdot 1 + c = 2 \Rightarrow 3 - 6 + c = 2 \Rightarrow c = 5. Din f(0)=0f(0) = 0: d=0d = 0. Deci f(x)=x3−3x2+5xf(x) = x^3 - 3x^2 + 5x.
33 puncte
Studiați monotonia: f′(x)=3x2−6x+5f'(x) = 3x^2 - 6x + 5. Discriminantul este Δ=(−6)2−4⋅3⋅5=36−60=−24<0\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 36 - 60 = -24 < 0, iar coeficientul lui x2x^2 este pozitiv, deci f′(x)>0f'(x) > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Așadar, ff este strict crescătoare pe R\mathbb{R}.
42 puncte
Studiați convexitatea: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6. f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>1x > 1, deci ff este convexă pe (1,∞)(1, \infty); f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<1x < 1, deci ff este concavă pe (−∞,1)(-\infty, 1). Punctul de inflexiune este x=1x = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.