MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2x+3x−1f(x) = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Determinați punctul de pe graficul funcției ff unde tangenta este orizontală și calculați distanța de la acest punct la originea axelor de coordonate.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=x2−2x−1(x−1)2f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2} și determinați intervalele de monotonie: ff este strict crescătoare pe (−∞,1−2)(-\infty, 1-\sqrt{2}) și (1+2,∞)(1+\sqrt{2}, \infty), strict descrescătoare pe (1−2,1)(1-\sqrt{2}, 1) și (1,1+2)(1, 1+\sqrt{2}).
23 puncte
Calculați derivata a doua f′′(x)=2(x−1)3f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3} și determinați intervalele de convexitate/concavitate: ff este convexă pe (1,∞)(1, \infty) și concavă pe (−∞,1)(-\infty, 1).
32 puncte
Găsiți punctul unde f′(x)=0f'(x) = 0, adică x2−2x−1=0x^2 - 2x - 1 = 0, cu soluțiile x=1±2x = 1 \pm \sqrt{2}. Din monotonia, punctul de tangență orizontală este (1+2,f(1+2))=(1+2,2+22)(1+\sqrt{2}, f(1+\sqrt{2})) = (1+\sqrt{2}, 2+2\sqrt{2}).
42 puncte
Calculați distanța de la punctul (1+2,2+22)(1+\sqrt{2}, 2+2\sqrt{2}) la originea (0,0)(0,0): d=(1+2)2+(2+22)2=15+102d = \sqrt{(1+\sqrt{2})^2 + (2+2\sqrt{2})^2} = \sqrt{15 + 10\sqrt{2}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.