MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Liniare
În reperul cartezian xOy, se dau punctele M(2,5)M(2,5), N(6,1)N(6,1) și P(a,b)P(a,b). a) Determinați coordonatele vectorilor MN⃗\vec{MN} și MP⃗\vec{MP}. b) Aflați aa și bb știind că MN⃗\vec{MN} este perpendicular pe MP⃗\vec{MP} și că ∣MP⃗∣=10|\vec{MP}| = 10. c) Calculați aria triunghiului MNP folosind determinantul.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Vectorii sunt MN⃗=(6−2,1−5)=(4,−4)\vec{MN} = (6-2, 1-5) = (4, -4) și MP⃗=(a−2,b−5)\vec{MP} = (a-2, b-5).
24 puncte
Condiția de perpendicularitate: MN⃗⋅MP⃗=0⇒4(a−2)−4(b−5)=0\vec{MN} \cdot \vec{MP} = 0 \Rightarrow 4(a-2) - 4(b-5) = 0, adică a−b=−3a - b = -3. Condiția pentru modul: ∣MP⃗∣=10⇒(a−2)2+(b−5)2=100|\vec{MP}| = 10 \Rightarrow (a-2)^2 + (b-5)^2 = 100. Înlocuind a=b−3a = b - 3 în a doua ecuație, obținem (b−5)2+(b−8)2=100(b-5)^2 + (b-8)^2 = 100, care se reduce la 2b2−26b+89=02b^2 - 26b + 89 = 0, cu soluțiile b=13±32b = \frac{13 \pm \sqrt{3}}{2} și a=b−3a = b - 3.
33 puncte
Aria triunghiului este 12∣det⁡(MN⃗,MP⃗)∣=12∣4(b−5)−(−4)(a−2)∣=12∣4a+4b−28∣\frac{1}{2} | \det(\vec{MN}, \vec{MP}) | = \frac{1}{2} |4(b-5) - (-4)(a-2)| = \frac{1}{2} |4a + 4b - 28|. Se înlocuiesc valorile găsite pentru aa și bb din step 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.