MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Considerați funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x2⋅(x2−2x+3)f(x) = e^{-x^2} \cdot (x^2 - 2x + 3). Studiați monotonia și convexitatea funcției ff și determinați punctele de extrem local și de inflexiune. Apoi, folosind aceste rezultate, calculați valoarea maximă a funcției pe intervalul [0,2][0, 2].

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=e−x2⋅(−2x(x2−2x+3)+(2x−2))f'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x(x^2 - 2x + 3) + (2x - 2)) și simplificați la f′(x)=−2e−x2(x3−2x2+2x−1)f'(x) = -2e^{-x^2}(x^3 - 2x^2 + 2x - 1). Studiați semnul lui f′(x)f'(x) pentru a determina intervalele de monotonie: f′(x)=0f'(x) = 0 dă x=1x=1 (rădăcină reală unică, deoarece polinomul cubic are discriminant negativ). f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x<1x < 1 și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x>1x > 1, deci ff este crescătoare pe (−∞,1](-\infty, 1] și descrescătoare pe [1,∞)[1, \infty).
23 puncte
Calculați derivata a doua f′′(x)f''(x) derivând f′(x)f'(x): f′′(x)=e−x2⋅(4x4−8x3+8x2−4x+4)f''(x) = e^{-x^2} \cdot (4x^4 - 8x^3 + 8x^2 - 4x + 4). Studiați semnul lui f′′(x)f''(x); observați că f′′(x)=4e−x2(x4−2x3+2x2−x+1)f''(x) = 4e^{-x^2}(x^4 - 2x^3 + 2x^2 - x + 1) și polinomul de gradul patru are discriminant pozitiv dar rădăcini complexe, deci f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Astfel, ff este convexă pe R\mathbb{R} și nu are puncte de inflexiune.
32 puncte
Din monotonia, punctul x=1x=1 este maxim local (și global) deoarece f′(x)f'(x) schimbă semnul de la pozitiv la negativ. Valoarea maximă locală este f(1)=e−1⋅(1−2+3)=2e−1f(1) = e^{-1} \cdot (1 - 2 + 3) = 2e^{-1}. Nu există puncte de inflexiune deoarece f′′(x)f''(x) nu se anulează.
42 puncte
Pe intervalul [0,2][0,2], funcția ff este crescătoare pe [0,1][0,1] și descrescătoare pe [1,2][1,2], cu maximul în x=1x=1. Calculați f(0)=3f(0) = 3, f(1)=2e−1≈0.736f(1) = 2e^{-1} \approx 0.736, f(2)=e−4⋅(4−4+3)=3e−4≈0.055f(2) = e^{-4} \cdot (4 - 4 + 3) = 3e^{-4} \approx 0.055. Valoarea maximă pe [0,2][0,2] este f(0)=3f(0)=3, deoarece 3>2e−13 > 2e^{-1}. Rezultat final: valoarea maximă este 33.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.