MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se consideră vectorii a⃗=i⃗+2j⃗+3k⃗\vec{a} = \vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k}, b⃗=2i⃗−j⃗+k⃗\vec{b} = 2\vec{i} - \vec{j} + \vec{k}, c⃗=5j⃗+5k⃗\vec{c} = 5\vec{j} + 5\vec{k} în spațiul euclidian tridimensional. a) Scrieți sistemul de ecuații liniare care determină coeficienții reali x,y,zx, y, z astfel încât xa⃗+yb⃗+zc⃗=0⃗x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c} = \vec{0}. b) Scrieți matricea coeficienților acestui sistem și calculați determinantul ei. c) Discutați soluțiile sistemului și interpretați geometric relația dintre vectorii a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Sistemul de ecuații: xa⃗+yb⃗+zc⃗=0⃗x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c} = \vec{0} se scrie în coordonate ca x(1,2,3)+y(2,−1,1)+z(0,5,5)=(0,0,0)x(1,2,3) + y(2,-1,1) + z(0,5,5) = (0,0,0), deci {x+2y=02x−y+5z=03x+y+5z=0\begin{cases} x + 2y = 0 \\ 2x - y + 5z = 0 \\ 3x + y + 5z = 0 \end{cases}.
23 puncte
Matricea coeficienților este A=(1202−15315)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 5 \\ 3 & 1 & 5 \end{pmatrix}. Calculăm determinantul: det⁡(A)=1⋅(−1⋅5−5⋅1)−2⋅(2⋅5−5⋅3)+0⋅(2⋅1−(−1)⋅3)=1⋅(−5−5)−2⋅(10−15)=−10−2⋅(−5)=−10+10=0\det(A) = 1 \cdot (-1 \cdot 5 - 5 \cdot 1) - 2 \cdot (2 \cdot 5 - 5 \cdot 3) + 0 \cdot (2 \cdot 1 - (-1) \cdot 3) = 1 \cdot (-5 - 5) - 2 \cdot (10 - 15) = -10 - 2 \cdot (-5) = -10 + 10 = 0.
32 puncte
Deoarece det⁡(A)=0\det(A) = 0, sistemul are soluții nenule. Din prima ecuație, x=−2yx = -2y. Substituim în a doua: 2(−2y)−y+5z=0⇒−5y+5z=0⇒z=y2(-2y) - y + 5z = 0 \Rightarrow -5y + 5z = 0 \Rightarrow z = y. A treia ecuație devine 3(−2y)+y+5y=0⇒0=03(-2y) + y + 5y = 0 \Rightarrow 0 = 0. Soluțiile sunt x=−2t,y=t,z=tx = -2t, y = t, z = t pentru t∈Rt \in \mathbb{R}.
42 puncte
Interpretare geometrică: Există o infinitate de combinații liniare nenule care dau vectorul nul, deci vectorii a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} sunt liniar dependenți. Din soluții, avem −2a⃗+b⃗+c⃗=0⃗-2\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}, deci c⃗=2a⃗−b⃗\vec{c} = 2\vec{a} - \vec{b}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.