MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Determinați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff. Apoi, găsiți punctul de pe graficul funcției ff unde tangenta este paralelă cu dreapta y=3x−1y = 3x - 1 și calculați distanța de la acest punct la originea axelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se calculează derivata întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x. Se rezolvă f′(x)=0f'(x)=0, obținând x=0x=0 și x=2x=2. Se studiază semnul derivatei pe intervalele (−∞,0)(-\infty,0), (0,2)(0,2), (2,∞)(2,\infty), determinând că ff este crescătoare pe (−∞,0]∪[2,∞)(-\infty,0] \cup [2,\infty) și descrescătoare pe [0,2][0,2].
23 puncte
Se calculează derivata a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6. Se rezolvă f′′(x)=0f''(x)=0, obținând x=1x=1. Se studiază semnul derivatei a doua: f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<1x<1 (concavă) și f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>1x>1 (convexă).
32 puncte
Panta dreptei y=3x−1y=3x-1 este 33. Tangenta este paralelă când f′(x)=3f'(x)=3, adică 3x2−6x=33x^2 - 6x = 3, rezultă x2−2x−1=0x^2 - 2x -1=0, cu soluțiile x=1±2x=1\pm\sqrt{2}. Se calculează f(1±2)=(1±2)3−3(1±2)2+4f(1\pm\sqrt{2}) = (1\pm\sqrt{2})^3 - 3(1\pm\sqrt{2})^2 + 4, obținând punctele P1(1−2,f(1−2))P_1(1-\sqrt{2}, f(1-\sqrt{2})) și P2(1+2,f(1+2))P_2(1+\sqrt{2}, f(1+\sqrt{2})).
42 puncte
Pentru fiecare punct, se calculează distanța la origine folosind formula d=x2+y2d = \sqrt{x^2 + y^2}. De exemplu, pentru P1P_1, d1=(1−2)2+(f(1−2))2d_1 = \sqrt{(1-\sqrt{2})^2 + (f(1-\sqrt{2}))^2}, și similar pentru P2P_2. Se poate observa că distanțele sunt egale datorită simetriei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.