MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x+x2−3xf(x) = e^{-x} + x^2 - 3x. Să se determine intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff. Apoi, folosind aceste proprietăți, să se arate că ecuația f(x)=0f(x) = 0 are exact două soluții reale distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează derivata întâi: f′(x)=−e−x+2x−3f'(x) = -e^{-x} + 2x - 3. Se studiază semnul derivatei întâi; se observă că funcția g(x)=f′(x)g(x)=f'(x) are derivata g′(x)=e−x+2>0g'(x)=e^{-x}+2>0, deci este strict crescătoare. Cum g(0)=−4<0g(0)=-4<0 și g(2)=1−e−2>0g(2)=1-e^{-2}>0, există un unic punct critic x0∈(0,2)x_0 \in (0,2) unde f′(x0)=0f'(x_0)=0. Astfel, ff este strict descrescătoare pe (−∞,x0)(-\infty, x_0) și strict crescătoare pe (x0,∞)(x_0, \infty).
23 puncte
Se calculează derivata a doua: f′′(x)=e−x+2>0f''(x) = e^{-x} + 2 > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci ff este convexă pe R\mathbb{R}.
34 puncte
Folosind proprietățile de monotonie și convexitate, ff are un minim global în x0x_0. Se evaluează f(x0)f(x_0): din f′(x0)=0f'(x_0)=0, avem e−x0=2x0−3e^{-x_0} = 2x_0 - 3, deci f(x0)=x02−x0−3f(x_0) = x_0^2 - x_0 - 3. Cum x0>1.5x_0 > 1.5 (din e−x0>0e^{-x_0}>0) și x02−x0−3<0x_0^2 - x_0 - 3 < 0 pentru x0x_0 în intervalul relevant, rezultă f(x0)<0f(x_0) < 0. Având în vedere că lim⁡x→−∞f(x)=∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty și lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty, prin teorema valorii intermediare și monotonie, ecuația f(x)=0f(x)=0 are exact două soluții reale distincte, una în (−∞,x0)(-\infty, x_0) și alta în (x0,∞)(x_0, \infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.