MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații Liniare
În spațiul OxyzOxyz, se consideră vectorii a⃗=i⃗+2j⃗−k⃗\vec{a} = \vec{i} + 2\vec{j} - \vec{k}, b⃗=3i⃗−j⃗+4k⃗\vec{b} = 3\vec{i} - \vec{j} + 4\vec{k}, și c⃗=−2i⃗+5j⃗+mk⃗\vec{c} = -2\vec{i} + 5\vec{j} + m\vec{k}, unde mm este un parametru real. a) Pentru m=1m = 1, calculați produsul mixt [a⃗,b⃗,c⃗][\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]. b) Determinați mm astfel încât vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}, c⃗\vec{c} să fie coplanari. c) Pentru mm găsit, rezolvați sistemul de ecuații liniare care exprimă combinația liniară αa⃗+βb⃗+γc⃗=0⃗\alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c} = \vec{0}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru m=1m=1, c⃗=−2i⃗+5j⃗+k⃗\vec{c} = -2\vec{i} + 5\vec{j} + \vec{k}. Produsul mixt [a⃗,b⃗,c⃗]=a⃗⋅(b⃗×c⃗)=−56[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = -56.
23 puncte
Vectorii sunt coplanari dacă produsul mixt este zero. Calculând în funcție de mm, obținem [a⃗,b⃗,c⃗]=−7m−49[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = -7m - 49. Setăm −7m−49=0-7m - 49 = 0, deci m=−7m = -7.
34 puncte
Pentru m=−7m=-7, sistemul αa⃗+βb⃗+γc⃗=0⃗\alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c} = \vec{0} devine: {α+3β−2γ=02α−β+5γ=0−α+4β−7γ=0\begin{cases} \alpha + 3\beta - 2\gamma = 0 \\ 2\alpha - \beta + 5\gamma = 0 \\ -\alpha + 4\beta - 7\gamma = 0 \end{cases}. Rezolvând, de exemplu prin eliminare, obținem soluțiile α=−2γ,β=γ\alpha = -2\gamma, \beta = \gamma, cu γ\gamma liber, indicând dependență liniară.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.