MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie Analitică
În spațiul euclidian tridimensional, se consideră punctele A(1,0,−1)A(1,0,-1), B(2,1,0)B(2,1,0) și C(0,1,2)C(0,1,2). a) Calculați coordonatele vectorilor AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Determinați aria triunghiului ABCABC folosind produsul vectorial. c) Scrieți ecuația planului determinat de punctele AA, BB, CC.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculul vectorilor: AB⃗=B−A=(2−1,1−0,0−(−1))=(1,1,1)\vec{AB} = B - A = (2-1, 1-0, 0-(-1)) = (1,1,1) și AC⃗=C−A=(0−1,1−0,2−(−1))=(−1,1,3)\vec{AC} = C - A = (0-1, 1-0, 2-(-1)) = (-1,1,3). \n
23 puncte
Calculul produsului vectorial: AB⃗×AC⃗=∣i⃗j⃗k⃗111−113∣=i⃗(1⋅3−1⋅1)−j⃗(1⋅3−1⋅(−1))+k⃗(1⋅1−1⋅(−1))=i⃗(3−1)−j⃗(3+1)+k⃗(1+1)=(2,−4,2)\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(1\cdot3 - 1\cdot1) - \vec{j}(1\cdot3 - 1\cdot(-1)) + \vec{k}(1\cdot1 - 1\cdot(-1)) = \vec{i}(3-1) - \vec{j}(3+1) + \vec{k}(1+1) = (2, -4, 2). \n
32 puncte
Aria triunghiului: Aria=12∥AB⃗×AC⃗∥=1222+(−4)2+22=124+16+4=1224=12⋅26=6Aria = \frac{1}{2} \| \vec{AB} \times \vec{AC} \| = \frac{1}{2} \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 2^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4+16+4} = \frac{1}{2} \sqrt{24} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{6} = \sqrt{6}. \n
43 puncte
Ecuația planului: vectorul normal este n⃗=AB⃗×AC⃗=(2,−4,2)\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (2,-4,2). Putem simplifica la (1,−2,1)(1,-2,1). Ecuația planului prin A(1,0,−1)A(1,0,-1): 1(x−1)−2(y−0)+1(z+1)=01(x-1) -2(y-0) + 1(z+1) = 0, adică x−2y+z=0x - 2y + z = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.