MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră vectorii u⃗=3i⃗−j⃗+2k⃗\vec{u} = 3\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}, v⃗=i⃗+4j⃗−k⃗\vec{v} = \vec{i} + 4\vec{j} - \vec{k} și w⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec{w} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}. Dacă w⃗\vec{w} este perpendicular pe u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}, iar w⃗⋅(i⃗+j⃗+k⃗)=6\vec{w} \cdot (\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}) = 6, aflați coordonatele lui w⃗\vec{w}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem condițiile de perpendicularitate: w⃗⋅u⃗=0\vec{w} \cdot \vec{u} = 0 și w⃗⋅v⃗=0\vec{w} \cdot \vec{v} = 0.\n
22 puncte
Obținem ecuațiile: 3x−y+2z=03x - y + 2z = 0 și x+4y−z=0x + 4y - z = 0.\n
32 puncte
Scriem condiția suplimentară: w⃗⋅(i⃗+j⃗+k⃗)=x+y+z=6\vec{w} \cdot (\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}) = x + y + z = 6.\n
44 puncte
Rezolvăm sistemul de ecuații: {3x−y+2z=0x+4y−z=0x+y+z=6\begin{cases} 3x - y + 2z = 0 \\ x + 4y - z = 0 \\ x + y + z = 6 \end{cases}. Prin metoda reducerii sau substituției, obținem soluția x=2x = 2, y=1y = 1, z=3z = 3. Verificăm: pentru x=2,y=1,z=3x=2, y=1, z=3, avem 3(2)−1+2(3)=6−1+6=11≠03(2) - 1 + 2(3) = 6-1+6=11 \neq 0? Aștept, am greșit calculul. Corect: 3x−y+2z=3(2)−1+2(3)=6−1+6=113x - y + 2z = 3(2) - 1 + 2(3) = 6 - 1 + 6 = 11, care nu este 0. Trebuie să recalculez sistemul corect. Să rezolv: Din a treia ecuație, z=6−x−yz = 6 - x - y. Înlocuim în primele două: 3x−y+2(6−x−y)=0⇒3x−y+12−2x−2y=0⇒x−3y+12=03x - y + 2(6 - x - y) = 0 \Rightarrow 3x - y + 12 - 2x - 2y = 0 \Rightarrow x - 3y + 12 = 0. Și x+4y−(6−x−y)=0⇒x+4y−6+x+y=0⇒2x+5y−6=0x + 4y - (6 - x - y) = 0 \Rightarrow x + 4y - 6 + x + y = 0 \Rightarrow 2x + 5y - 6 = 0. Acum avem {x−3y=−122x+5y=6\begin{cases} x - 3y = -12 \\ 2x + 5y = 6 \end{cases}. Din prima, x=3y−12x = 3y - 12. Înlocuim în a doua: 2(3y−12)+5y=6⇒6y−24+5y=6⇒11y=30⇒y=30112(3y - 12) + 5y = 6 \Rightarrow 6y - 24 + 5y = 6 \Rightarrow 11y = 30 \Rightarrow y = \frac{30}{11}. Atunci x=3(3011)−12=9011−13211=−4211x = 3\left(\frac{30}{11}\right) - 12 = \frac{90}{11} - \frac{132}{11} = -\frac{42}{11}, și z=6−(−4211)−3011=6+4211−3011=6+1211=6611+1211=7811z = 6 - \left(-\frac{42}{11}\right) - \frac{30}{11} = 6 + \frac{42}{11} - \frac{30}{11} = 6 + \frac{12}{11} = \frac{66}{11} + \frac{12}{11} = \frac{78}{11}. Deci w⃗=−4211i⃗+3011j⃗+7811k⃗\vec{w} = -\frac{42}{11}\vec{i} + \frac{30}{11}\vec{j} + \frac{78}{11}\vec{k}. Verificăm: 3x−y+2z=3(−4211)−3011+2(7811)=−12611−3011+15611=03x - y + 2z = 3\left(-\frac{42}{11}\right) - \frac{30}{11} + 2\left(\frac{78}{11}\right) = -\frac{126}{11} - \frac{30}{11} + \frac{156}{11} = 0, corect. x+4y−z=−4211+4(3011)−7811=−4211+12011−7811=0x + 4y - z = -\frac{42}{11} + 4\left(\frac{30}{11}\right) - \frac{78}{11} = -\frac{42}{11} + \frac{120}{11} - \frac{78}{11} = 0, corect. x+y+z=−4211+3011+7811=6611=6x + y + z = -\frac{42}{11} + \frac{30}{11} + \frac{78}{11} = \frac{66}{11} = 6, corect. Deci soluția finală este x=−4211x = -\frac{42}{11}, y=3011y = \frac{30}{11}, z=7811z = \frac{78}{11}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.