MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−xf(x) = x \ln x - x. Studiați monotonia și convexitatea funcției ff și determinați punctele de extrem local și punctele de inflexiune. Apoi, aplicați aceste rezultate pentru a găsi minimul funcției pe intervalul [1,e][1, e].

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=ln⁡xf'(x) = \ln x și studiați semnul: f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(0,1)x \in (0,1), f′(x)=0f'(x) = 0 pentru x=1x=1, f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(1,∞)x \in (1, \infty). Deci, ff este descrescătoare pe (0,1](0,1] și crescătoare pe [1,∞)[1, \infty).
23 puncte
Calculați derivata a doua f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}. f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>0x > 0, deci ff este convexă pe (0,∞)(0, \infty) și nu are puncte de inflexiune.
32 puncte
Din monotonia, x=1x=1 este punct de minim local, dar nu există puncte de maxim local.
42 puncte
Pe intervalul [1,e][1, e], ff este crescătoare, deci minimul este în x=1x=1, f(1)=−1f(1) = -1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.