MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un poster dreptunghiular trebuie să conțină o suprafață imprimată de 50 cm250 \text{ cm}^2, cu margini de 2 cm2 \text{ cm} în partea de sus și de jos, și 1 cm1 \text{ cm} pe fiecare latură. Determinați dimensiunile posterului care minimizează aria totală, și discutați convexitatea funcției arie pentru a confirma că este un minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm cu xx lățimea suprafeței imprimate și yy înălțimea suprafeței imprimate, cu x>0x>0, y>0y>0. Aria imprimată: xy=50xy=50. Dimensiunile posterului: lățimea totală x+2x+2 (deoarece câte 1 cm1 \text{ cm} pe fiecare latură) și înălțimea totală y+4y+4 (deoarece 2 cm2 \text{ cm} sus și jos). Aria totală a posterului: A(x,y)=(x+2)(y+4)A(x,y) = (x+2)(y+4). Din xy=50xy=50, exprimăm y=50xy=\frac{50}{x}, deci A(x)=(x+2)(50x+4)=4x+100x+58A(x) = (x+2)\left(\frac{50}{x}+4\right) = 4x + \frac{100}{x} + 58, pentru x>0x>0.
23 puncte
Calculăm derivata întâi: A′(x)=4−100x2A'(x) = 4 - \frac{100}{x^2}. Rezolvăm A′(x)=0A'(x)=0: 4−100x2=0⇒x2=25⇒x=54 - \frac{100}{x^2}=0 \Rightarrow x^2=25 \Rightarrow x=5 (deoarece x>0x>0). Punct critic: x=5x=5.
33 puncte
Calculăm derivata a doua: A′′(x)=200x3A''(x) = \frac{200}{x^3}. Pentru x>0x>0, A′′(x)>0A''(x)>0, deci funcția A(x)A(x) este convexă pe (0,∞)(0,\infty). Convexitatea implică că punctul critic este un minim global.
42 puncte
Pentru x=5x=5, y=505=10y=\frac{50}{5}=10. Dimensiunile posterului: lățimea x+2=7 cmx+2=7 \text{ cm}, înălțimea y+4=14 cmy+4=14 \text{ cm}. Aria minimă totală: A(5)=4⋅5+1005+58=20+20+58=98 cm2A(5)=4\cdot5 + \frac{100}{5} + 58 = 20 + 20 + 58 = 98 \text{ cm}^2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.