MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorul v⃗=ai⃗+bj⃗+ck⃗\vec{v} = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}, unde a, b, c sunt numere reale. Știind că v⃗\vec{v} este perpendicular pe vectorul u⃗=2i⃗−j⃗+k⃗\vec{u} = 2\vec{i} - \vec{j} + \vec{k}, că ∣v⃗∣=14|\vec{v}| = \sqrt{14}, și că a, b, c sunt în progresie aritmetică, determinați rația progresiei și vectorii v⃗\vec{v} posibili.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm rația progresiei aritmetice cu r, deci b=a+rb = a + r și c=a+2rc = a + 2r.
23 puncte
Condiția de perpendicularitate: v⃗⋅u⃗=2a−b+c=0\vec{v} \cdot \vec{u} = 2a - b + c = 0. Înlocuind b și c: 2a−(a+r)+(a+2r)=2a+r=0⇒r=−2a2a - (a+r) + (a+2r) = 2a + r = 0 \Rightarrow r = -2a.
33 puncte
Condiția de mărime: ∣v⃗∣2=a2+b2+c2=14|\vec{v}|^2 = a^2 + b^2 + c^2 = 14. Înlocuind b și c cu expresiile în funcție de a și r, apoi folosind r=−2ar = -2a: a2+(a−2a)2+(a−4a)2=a2+(−a)2+(−3a)2=a2+a2+9a2=11a2=14⇒a2=1411⇒a=±15411a^2 + (a-2a)^2 + (a-4a)^2 = a^2 + (-a)^2 + (-3a)^2 = a^2 + a^2 + 9a^2 = 11a^2 = 14 \Rightarrow a^2 = \frac{14}{11} \Rightarrow a = \pm \frac{\sqrt{154}}{11}.
42 puncte
Pentru a=15411a = \frac{\sqrt{154}}{11}, r=−2a=−215411r = -2a = -\frac{2\sqrt{154}}{11}, deci b=a+r=−15411b = a + r = -\frac{\sqrt{154}}{11}, c=a+2r=−315411c = a + 2r = -\frac{3\sqrt{154}}{11}, iar v⃗=15411i⃗−15411j⃗−315411k⃗\vec{v} = \frac{\sqrt{154}}{11} \vec{i} - \frac{\sqrt{154}}{11} \vec{j} - \frac{3\sqrt{154}}{11} \vec{k}. Pentru a=−15411a = -\frac{\sqrt{154}}{11}, r=−2a=215411r = -2a = \frac{2\sqrt{154}}{11}, deci b=a+r=15411b = a + r = \frac{\sqrt{154}}{11}, c=a+2r=315411c = a + 2r = \frac{3\sqrt{154}}{11}, iar v⃗=−15411i⃗+15411j⃗+315411k⃗\vec{v} = -\frac{\sqrt{154}}{11} \vec{i} + \frac{\sqrt{154}}{11} \vec{j} + \frac{3\sqrt{154}}{11} \vec{k}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.