MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
Un dreptunghi are laturile paralele cu axele de coordonate și vârfurile pe graficul funcției f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2} și pe axa OxOx. Determinați dimensiunile dreptunghiului de arie maximă care poate fi înscris între graficul funcției și axa OxOx. Studiați monotonia și convexitatea funcției ariei în raport cu variabila aleasă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Dacă notăm cu x>0x>0 abscisa unui vârf pe grafic din cadranul I, atunci dreptunghiul are lățimea 2x2x și înălțimea f(x)=e−x2f(x)=e^{-x^2}. Aria este A(x)=2x⋅e−x2=2xe−x2A(x)=2x \cdot e^{-x^2}=2xe^{-x^2}, cu x∈(0,∞)x \in (0,\infty).
23 puncte
Se calculează derivata A′(x)=2e−x2(1−2x2)A'(x)=2e^{-x^2}(1-2x^2). Se rezolvă A′(x)=0A'(x)=0, obținând x=12x=\frac{1}{\sqrt{2}} (deoarece x>0x>0). Se studiază semnul: A′(x)>0A'(x)>0 pentru x∈(0,12)x \in (0,\frac{1}{\sqrt{2}}) (funcție strict crescătoare) și A′(x)<0A'(x)<0 pentru x∈(12,∞)x \in (\frac{1}{\sqrt{2}},\infty) (funcție strict descrescătoare).
33 puncte
Se calculează derivata a doua A′′(x)=2e−x2(4x3−6x)A''(x)=2e^{-x^2}(4x^3-6x). Pentru x=12x=\frac{1}{\sqrt{2}}, A′′(12)=2e−1/2(4(1/(22))−6/2)=2e−1/2(2−32)=−42e−1/2<0A''(\frac{1}{\sqrt{2}})=2e^{-1/2}(4(1/(2\sqrt{2}))-6/\sqrt{2})=2e^{-1/2}(\sqrt{2}-3\sqrt{2})=-4\sqrt{2}e^{-1/2}<0, deci funcția este concavă în acel punct, confirmând maximul.
42 puncte
Dimensiunile dreptunghiului sunt: lățimea 2x=22x= \sqrt{2} și înălțimea e−1/2=1ee^{-1/2}= \frac{1}{\sqrt{e}}. Aria maximă este Amax⁡=2⋅1e=2eA_{\max}=\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{e}} = \sqrt{\frac{2}{e}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.