MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2ln⁡xf(x) = x^2 \ln x. Determinați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff, precum și punctele de extrem local și de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=2xln⁡x+xf'(x) = 2x \ln x + x.
23 puncte
Studiați semnul lui f′(x)f'(x): f′(x)=x(2ln⁡x+1)f'(x) = x(2 \ln x + 1). Pentru x>0x > 0, f′(x)=0f'(x) = 0 când 2ln⁡x+1=02 \ln x + 1 = 0, adică ln⁡x=−12\ln x = -\frac{1}{2}, deci x=e−12x = e^{-\frac{1}{2}}. Intervalele de monotonie: ff este descrescătoare pe (0,e−12)(0, e^{-\frac{1}{2}}) și crescătoare pe (e−12,∞)(e^{-\frac{1}{2}}, \infty). Punctul x=e−12x = e^{-\frac{1}{2}} este punct de minim local.
32 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=2ln⁡x+3f''(x) = 2 \ln x + 3.
43 puncte
Studiați semnul lui f′′(x)f''(x): f′′(x)=2ln⁡x+3f''(x) = 2 \ln x + 3. f′′(x)=0f''(x) = 0 când ln⁡x=−32\ln x = -\frac{3}{2}, adică x=e−32x = e^{-\frac{3}{2}}. Intervalele de convexitate: ff este concavă pe (0,e−32)(0, e^{-\frac{3}{2}}) și convexă pe (e−32,∞)(e^{-\frac{3}{2}}, \infty). Punctul x=e−32x = e^{-\frac{3}{2}} este punct de inflexiune.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.