MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Determinați intervalele de monotonie și intervalele de convexitate ale funcției ff. Apoi, folosind proprietățile găsite, discutați după k∈Rk \in \mathbb{R} numărul de soluții reale ale ecuației f(x)=kf(x) = k.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculăm derivata întâi f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x și derivata a doua f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6.
23 puncte
Rezolvăm f′(x)=0f'(x) = 0 obținând x=0x=0 și x=2x=2. Studiem semnul derivatei întâi: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−∞,0)∪(2,∞)x \in (-\infty,0) \cup (2,\infty) (funcția crescătoare) și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(0,2)x \in (0,2) (funcția descrescătoare). Intervalele de monotonie: crescătoare pe (−∞,0](-\infty,0] și [2,∞)[2,\infty), descrescătoare pe [0,2][0,2].
32 puncte
Rezolvăm f′′(x)=0f''(x) = 0 obținând x=1x=1. Studiem semnul derivatei a doua: f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x∈(−∞,1)x \in (-\infty,1) (funcția concavă) și f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x∈(1,∞)x \in (1,\infty) (funcția convexă). Intervalele de convexitate: convexă pe [1,∞)[1,\infty), concavă pe (−∞,1](-\infty,1].
43 puncte
Analizăm valorile funcției în punctele critice: f(0)=4f(0)=4, f(2)=0f(2)=0. Din monotonie, ff are un maxim local în x=0x=0 cu valoarea 44 și un minim local în x=2x=2 cu valoarea 00. Pentru ecuația f(x)=kf(x)=k: dacă k<0k<0 sau k>4k>4, o singură soluție; dacă k=0k=0 sau k=4k=4, două soluții (dintre care una dublă); dacă 0<k<40<k<4, trei soluții distincte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.