MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2ln⁡xf(x) = x^2 \ln x. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Determinați punctele de extrem și punctele de inflexiune. c) Folosind informațiile obținute, arătați că pentru orice x>0x > 0, x2ln⁡x≥−1ex^2 \ln x \geq -\frac{1}{e}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=2xln⁡x+xf'(x) = 2x \ln x + x și derivata a doua f′′(x)=2ln⁡x+3f''(x) = 2 \ln x + 3.
23 puncte
Studiați semnul derivatei întâi: f′(x)=x(2ln⁡x+1)f'(x) = x(2 \ln x + 1); f′(x)=0f'(x) = 0 pentru x=e−1/2x = e^{-1/2}; f′(x)>0f'(x) > 0 pe (e−1/2,∞)(e^{-1/2}, \infty) (funcția crescătoare) și f′(x)<0f'(x) < 0 pe (0,e−1/2)(0, e^{-1/2}) (funcție descrescătoare). Studiați semnul derivatei a doua: f′′(x)=0f''(x) = 0 pentru x=e−3/2x = e^{-3/2}; f′′(x)>0f''(x) > 0 pe (e−3/2,∞)(e^{-3/2}, \infty) (funcție convexă) și f′′(x)<0f''(x) < 0 pe (0,e−3/2)(0, e^{-3/2}) (funcție concavă).
32 puncte
Punctul de minim este x=e−1/2x = e^{-1/2} (deoarece derivata întâi schimbă semnul din negativ în pozitiv), cu f(e−1/2)=−12ef(e^{-1/2}) = -\frac{1}{2e}. Punctul de inflexiune este x=e−3/2x = e^{-3/2} (deoarece derivata a doua schimbă semnul), cu f(e−3/2)=−32e3/2f(e^{-3/2}) = -\frac{3}{2e^{3/2}}.
42 puncte
Din studiul monotoniei, minimul funcției este f(e−1/2)=−12ef(e^{-1/2}) = -\frac{1}{2e}, dar se cere să arătați x2ln⁡x≥−1ex^2 \ln x \geq -\frac{1}{e}; observați că f(x)f(x) atinge minimul absolut în x=e−1/2x = e^{-1/2} și f(e−1/2)=−12e>−1ef(e^{-1/2}) = -\frac{1}{2e} > -\frac{1}{e} pentru e>1e > 1, deci se verifică inegalitatea. Alternativ, folosiți proprietățile extremei și convexității pentru a justifica că f(x)≥−1ef(x) \geq -\frac{1}{e}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.