MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R∖{−1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{ -1 \} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2x+3x+1f(x) = \frac{x^2 + 2x + 3}{x+1}. Determinați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff, și găsiți punctele de extrem și de inflexiune, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=(2x+2)(x+1)−(x2+2x+3)(x+1)2=x2+2x−1(x+1)2f'(x) = \frac{(2x+2)(x+1) - (x^2+2x+3)}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}.
23 puncte
Studiați semnul lui f′(x)f'(x): Numitorul este pozitiv pentru x≠−1x \neq -1, deci semnul depinde de numărătorul x2+2x−1x^2+2x-1, cu rădăcinile x1,2=−1±2x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{2}. Intervalele de monotonie: ff este crescătoare pe (−∞,−1−2)(-\infty, -1-\sqrt{2}) și (−1+2,∞)(-1+\sqrt{2}, \infty), descrescătoare pe (−1−2,−1)(-1-\sqrt{2}, -1) și (−1,−1+2)(-1, -1+\sqrt{2}). Punctele de extrem sunt x=−1−2x = -1-\sqrt{2} (maxim local) și x=−1+2x = -1+\sqrt{2} (minim local).
32 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=4(x+1)3f''(x) = \frac{4}{(x+1)^3}.
43 puncte
Studiați semnul lui f′′(x)f''(x): f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>−1x > -1, deci ff este convexă pe (−1,∞)(-1, \infty); f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<−1x < -1, deci ff este concavă pe (−∞,−1)(-\infty, -1). Nu există puncte de inflexiune deoarece f′′(x)f''(x) nu se anulează.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.