MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x33−2x2+3x+1f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x + 1. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Determinați punctele de extrem local și de inflexiune. c) Aplicați rezultatele pentru a găsi valoarea minimă a funcției pe intervalul [0,4][0, 4].

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=x2−4x+3f'(x) = x^2 - 4x + 3. Rezolvați f′(x)=0f'(x) = 0 pentru punctele critice: x1=1x_1 = 1, x2=3x_2 = 3.
23 puncte
Studiați semnul lui f′(x)f'(x): pe (−∞,1)(-\infty, 1), f′(x)>0f'(x) > 0 deci ff crescătoare; pe (1,3)(1, 3), f′(x)<0f'(x) < 0 deci ff descrescătoare; pe (3,∞)(3, \infty), f′(x)>0f'(x) > 0 deci ff crescătoare.
32 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=2x−4f''(x) = 2x - 4. Rezolvați f′′(x)=0f''(x) = 0 pentru punctul de inflexiune: x=2x = 2. Studiați semnul: pe (−∞,2)(-\infty, 2), f′′(x)<0f''(x) < 0 deci ff concavă; pe (2,∞)(2, \infty), f′′(x)>0f''(x) > 0 deci ff convexă.
42 puncte
Punctele de extrem: x=1x = 1 este maxim local, x=3x = 3 este minim local. Punctul de inflexiune: x=2x = 2. Pentru valoarea minimă pe [0,4][0, 4], evaluați ff: f(0)=1f(0) = 1, f(1)=73f(1) = \frac{7}{3}, f(3)=1f(3) = 1, f(4)=73f(4) = \frac{7}{3}. Valoarea minimă este 11, atinsă în x=0x = 0 și x=3x = 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.