MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Să se determine intervalele de monotonie și de convexitate ale funcției ff. Apoi, să se afle ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de inflexiune și să se arate că triunghiul format de această tangentă și axele de coordonate are aria egală cu 256\frac{25}{6}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x. Rezolvarea f′(x)=0f'(x) = 0 dă x=0x=0 și x=2x=2. Studiul semnului: f′(x)>0f'(x) > 0 pe (−∞,0)∪(2,∞)(-\infty,0) \cup (2,\infty) (funcția crescătoare), f′(x)<0f'(x) < 0 pe (0,2)(0,2) (funcția descrescătoare).
23 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6. Rezolvarea f′′(x)=0f''(x) = 0 dă x=1x=1. Studiul semnului: f′′(x)<0f''(x) < 0 pe (−∞,1)(-\infty,1) (funcția concavă), f′′(x)>0f''(x) > 0 pe (1,∞)(1,\infty) (funcția convexă).
32 puncte
Punctul de inflexiune este x=1x=1, f(1)=2f(1)=2. Panta tangentei: f′(1)=−3f'(1) = -3. Ecuația tangentei: y−2=−3(x−1)y - 2 = -3(x-1) sau y=−3x+5y = -3x + 5.
42 puncte
Intersecția cu axa OxOx: y=0⇒x=53y=0 \Rightarrow x = \frac{5}{3}, punctul (53,0)(\frac{5}{3},0). Intersecția cu axa OyOy: x=0⇒y=5x=0 \Rightarrow y=5, punctul (0,5)(0,5). Aria triunghiului cu vârfurile (0,0)(0,0), (53,0)(\frac{5}{3},0), (0,5)(0,5) este 12⋅53⋅5=256\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot 5 = \frac{25}{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.