MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R∖{0}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−1x2f(x) = \frac{x^3 - 1}{x^2}. Studiați monotonia și convexitatea acestei funcții, determinând intervalele de monotonie și punctele de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați derivata întâi: f(x)=x−1x2f(x) = x - \frac{1}{x^2}, deci f′(x)=1+2x3f'(x) = 1 + \frac{2}{x^3}. \n
23 puncte
Studiați semnul lui f′(x)f'(x): f′(x)=2+x3x3f'(x) = \frac{2 + x^3}{x^3}. f′(x)>0f'(x) > 0 când numărătorul și numitorul au același semn. Pentru x>0x > 0, 2+x3>02 + x^3 > 0 și x3>0x^3 > 0, deci f′(x)>0f'(x) > 0. Pentru x<0x < 0, f′(x)>0f'(x) > 0 dacă 2+x3<02 + x^3 < 0 și x3<0x^3 < 0, adică x<−23x < -\sqrt[3]{2}. Astfel, ff este crescătoare pe (−∞,−23)(-\infty, -\sqrt[3]{2}) și (0,∞)(0, \infty), și descrescătoare pe (−23,0)(-\sqrt[3]{2}, 0). \n
33 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=−6x4f''(x) = -\frac{6}{x^4}. Pentru x≠0x \neq 0, f′′(x)<0f''(x) < 0, deci funcția este concavă pe (−∞,0)(-\infty, 0) și (0,∞)(0, \infty). Nu există puncte de inflexiune deoarece f′′(x)f''(x) nu se anulează. \n
42 puncte
Concluzie: Intervalele de monotonie și convexitate sunt cele determinate; funcția nu are puncte de inflexiune.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.