MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2ln⁡x−x22+12f(x) = x^2 \ln x - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}. Să se studieze monotonia și convexitatea funcției ff. Să se arate că f(x)≥0f(x) \geq 0 pentru orice x>0x > 0 și să se determine valoarea minimă a funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se calculează derivata întâi: f′(x)=2xln⁡xf'(x) = 2x \ln x.
22 puncte
Se rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0, obținând x=1x=1, și se studiază semnul: pentru x∈(0,1)x \in (0,1), f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff este descrescătoare; pentru x∈(1,∞)x \in (1, \infty), f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff este crescătoare.
31 punct
Se calculează derivata a doua: f′′(x)=2(ln⁡x+1)f''(x) = 2(\ln x + 1).
42 puncte
Se rezolvă f′′(x)=0f''(x) = 0, obținând x=e−1x = e^{-1}, și se studiază semnul: pentru x∈(0,e−1)x \in (0, e^{-1}), f′′(x)<0f''(x) < 0, deci ff este concavă; pentru x∈(e−1,∞)x \in (e^{-1}, \infty), f′′(x)>0f''(x) > 0, deci ff este convexă.
53 puncte
Din monotonia funcției, ff are minimul în x=1x=1, unde f(1)=0f(1)=0. Astfel, pentru orice x>0x>0, f(x)≥f(1)=0f(x) \geq f(1) = 0, deci f(x)≥0f(x) \geq 0. Valoarea minimă este 00.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.