MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie Analitică
În spațiul tridimensional cu baza ortonormată {i⃗,j⃗,k⃗}\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}, se consideră vectorii a⃗=3i⃗−2j⃗+k⃗\vec{a} = 3\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k} și b⃗=i⃗+j⃗−2k⃗\vec{b} = \vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k}. a) Calculați produsul scalar a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b} și produsul vectorial a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b}. b) Determinați unghiul dintre vectorii a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b}. c) Verificați dacă vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b} sunt liniar independenți.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
a⃗⋅b⃗=3⋅1+(−2)⋅1+1⋅(−2)=−1\vec{a} \cdot \vec{b} = 3\cdot1 + (-2)\cdot1 + 1\cdot(-2) = -1. a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗3−2111−2∣=i⃗((−2)(−2)−1⋅1)−j⃗(3⋅(−2)−1⋅1)+k⃗(3⋅1−(−2)⋅1)=3i⃗+7j⃗+5k⃗\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \vec{i}((-2)(-2) - 1\cdot1) - \vec{j}(3\cdot(-2) - 1\cdot1) + \vec{k}(3\cdot1 - (-2)\cdot1) = 3\vec{i} + 7\vec{j} + 5\vec{k}.
23 puncte
∣a⃗∣=32+(−2)2+12=14|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{14}, ∣b⃗∣=12+12+(−2)2=6|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}. cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣=−114⋅6=−1221\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-1}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} = -\frac{1}{2\sqrt{21}}, deci θ=arccos⁡(−1221)\theta = \arccos\left(-\frac{1}{2\sqrt{21}}\right).
33 puncte
Coordonatele vectorilor: a⃗=(3,−2,1)\vec{a} = (3,-2,1), b⃗=(1,1,−2)\vec{b} = (1,1,-2), a⃗×b⃗=(3,7,5)\vec{a} \times \vec{b} = (3,7,5). Determinantul ∣313−2171−25∣=3(1⋅5−7⋅(−2))−1((−2)⋅5−7⋅1)+3((−2)⋅(−2)−1⋅1)=57+17+9=83≠0\begin{vmatrix} 3 & 1 & 3 \\ -2 & 1 & 7 \\ 1 & -2 & 5 \end{vmatrix} = 3(1\cdot5 - 7\cdot(-2)) - 1((-2)\cdot5 - 7\cdot1) + 3((-2)\cdot(-2) - 1\cdot1) = 57 + 17 + 9 = 83 \neq 0, deci vectorii sunt liniar independenți.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.