MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorTrigonometrie
Se consideră funcția f:[0,π]→Rf : [0, \pi] \to \mathbb{R}, f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x) = \sin x + \cos x. a) Arătați că ff este strict crescătoare pe intervalul [0,π4][0, \frac{\pi}{4}] și strict descrescătoare pe [π4,π][\frac{\pi}{4}, \pi]. b) Studiați convexitatea funcției pe [0,π][0, \pi]. c) Folosind proprietățile de monotonie și convexitate, determinați pentru fiecare k∈Rk \in \mathbb{R} numărul de soluții ale ecuației sin⁡x+cos⁡x=k\sin x + \cos x = k în intervalul [0,π][0, \pi].

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm derivatele: f′(x)=cos⁡x−sin⁡xf'(x) = \cos x - \sin x și f′′(x)=−sin⁡x−cos⁡xf''(x) = -\sin x - \cos x.
23 puncte
Rezolvăm f′(x)=0f'(x)=0 în [0,π][0,\pi]: cos⁡x=sin⁡x\cos x = \sin x dă x=π4x=\frac{\pi}{4}. Studiem semnul: pe [0,π4)[0,\frac{\pi}{4}), f′(x)>0f'(x)>0, deci ff strict crescătoare; pe (π4,π](\frac{\pi}{4},\pi], f′(x)<0f'(x)<0, deci ff strict descrescătoare.
32 puncte
Studiem semnul lui f′′(x)f''(x): f′′(x)=0f''(x)=0 pentru x=3π4x=\frac{3\pi}{4}; pe [0,3π4)[0,\frac{3\pi}{4}), f′′(x)<0f''(x)<0, deci ff concavă; pe (3π4,π](\frac{3\pi}{4},\pi], f′′(x)>0f''(x)>0, deci ff convexă; punct de inflexiune la x=3π4x=\frac{3\pi}{4}.
42 puncte
Din monotonie, imaginea lui ff este [−1,2][-1,\sqrt{2}]. Pentru k<−1k < -1 sau k>2k > \sqrt{2}, ecuația nu are soluții. Pentru k=−1k = -1, o soluție x=πx=\pi. Pentru k∈(−1,1)k \in (-1,1), o soluție în (π4,π)(\frac{\pi}{4},\pi). Pentru k=1k=1, o soluție x=0x=0. Pentru k∈(1,2)k \in (1,\sqrt{2}), două soluții: una în [0,π4)[0,\frac{\pi}{4}) și una în (π4,π)(\frac{\pi}{4},\pi). Pentru k=2k=\sqrt{2}, o soluție x=π4x=\frac{\pi}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.