MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră punctele A(1,0,2)A(1,0,2), B(3,1,−1)B(3,1,-1), C(0,2,1)C(0,2,1) în spațiul R3\mathbb{R}^3. Determinați ecuația planului care trece prin aceste puncte și calculați distanța de la originea O(0,0,0)O(0,0,0) la acest plan.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm doi vectori din plan: AB⃗=B−A=(2,1,−3)\vec{AB} = B - A = (2,1,-3) și AC⃗=C−A=(−1,2,−1)\vec{AC} = C - A = (-1,2,-1).
24 puncte
Produsul vectorial al lui AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC} dă un vector normal la plan: n⃗=AB⃗×AC⃗=∣i⃗j⃗k⃗21−3−12−1∣=i⃗(1⋅(−1)−(−3)⋅2)−j⃗(2⋅(−1)−(−3)⋅(−1))+k⃗(2⋅2−1⋅(−1))=i⃗(−1+6)−j⃗(−2−3)+k⃗(4+1)=5i⃗+5j⃗+5k⃗=(5,5,5)\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot (-1) - (-3) \cdot 2) - \vec{j}(2 \cdot (-1) - (-3) \cdot (-1)) + \vec{k}(2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) = \vec{i}(-1 + 6) - \vec{j}(-2 - 3) + \vec{k}(4 + 1) = 5\vec{i} + 5\vec{j} + 5\vec{k} = (5,5,5).
32 puncte
Ecuația planului este 5(x−1)+5(y−0)+5(z−2)=05(x-1) + 5(y-0) + 5(z-2) = 0, sau simplificând x+y+z−3=0x + y + z - 3 = 0.
41 punct
Distanța de la O(0,0,0)O(0,0,0) la planul x+y+z−3=0x + y + z - 3 = 0 este d=∣0+0+0−3∣12+12+12=33=3d = \frac{|0+0+0-3|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.